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東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2019年8月実施 午前 問5

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

事象 AA の確率を P(A)P(A) で表す．事象の列 {An}n=1∞\{A_n\}_{n=1}^{\infty} に対して，

lim sup⁡n→∞An=⋂n=1∞⋃k=n∞Ak\limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k

と定義する．確率変数列に関する各種極限定理を前提とせずに以下の問 (1), (2) に答えよ．また，必要に応じて，不等式

(1x−1x3)e−x2/2<∫x∞e−y2/2dy<1xe−x2/2,x>0,\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}\right) e^{-x^2/2} < \int_x^{\infty} e^{-y^2/2} dy < \frac{1}{x} e^{-x^2/2}, \quad x > 0,

を証明なしに用いてもよい．

(1) {Bn}n=1∞\{B_n\}_{n=1}^{\infty} を独立事象列とする．

(i) 以下の不等式を示せ．

P(⋂k=1nBkc)≤exp⁡(−∑k=1nP(Bk)).P\left(\bigcap_{k=1}^n B_k^c\right) \le \exp\left(-\sum_{k=1}^n P(B_k)\right).

ここで， BcB^c は事象 BB の余事象を表す．

(ii) ∑n=1∞P(Bn)=∞\sum_{n=1}^{\infty} P(B_n) = \infty のとき，任意の n=1,2,…n = 1, 2, \dots に対して P(⋃k=n∞Bk)=1P(\bigcup_{k=n}^{\infty} B_k) = 1 が成り立つことを示せ．

(iii) ∑n=1∞P(Bn)=∞\sum_{n=1}^{\infty} P(B_n) = \infty のとき， P(lim sup⁡n→∞Bn)=1P(\limsup_{n \to \infty} B_n) = 1 が成り立つことを示せ．

(2) {Xn}n=1∞\{X_n\}_{n=1}^{\infty} を独立同分布確率変数列とし， XnX_n は標準正規分布に従うとする． n=1,2,…n = 1, 2, \dots に対して Sn=X1+⋯+XnS_n = X_1 + \dots + X_n とおく．

(i) P(lim sup⁡n→∞{∣Xn∣≥log⁡n})=1P(\limsup_{n \to \infty} \{|X_n| \ge \sqrt{\log n}\}) = 1 を示せ．

(ii) P(lim sup⁡n→∞{∣Sn∣≥2nlog⁡n})P(\limsup_{n \to \infty} \{|S_n| \ge 2\sqrt{n \log n}\}) を求めよ．

题目描述​

用 P(A)P(A) 表示事件 AA 的概率。对事件列 {An}n=1∞\{A_n\}_{n=1}^{\infty}，定义

lim sup⁡n→∞An=⋂n=1∞⋃k=n∞Ak.\limsup_{n\to\infty}A_n =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k.

回答以下问题时，不得把关于随机变量列的各种极限定理作为前提；需要时可直接使用

(1x−1x3)e−x2/2<∫x∞e−y2/2 dy<1xe−x2/2,x>0.\left(\frac1x-\frac1{x^3}\right)e^{-x^2/2} <\int_x^\infty e^{-y^2/2}\,dy <\frac1x e^{-x^2/2}, \qquad x>0.

  1. 设 {Bn}n=1∞\{B_n\}_{n=1}^{\infty} 是一列相互独立的事件。

    1. 证明
    P ⁣(⋂k=1nBkc)≤exp⁡ ⁣(−∑k=1nP(Bk)),P\!\left(\bigcap_{k=1}^nB_k^c\right) \leq \exp\!\left(-\sum_{k=1}^nP(B_k)\right),

    其中 BcB^c 表示 BB 的补事件。 2. 若 ∑n=1∞P(Bn)=∞\sum_{n=1}^{\infty}P(B_n)=\infty，证明对每个 n=1,2,…n=1,2,\ldots 都有

    P ⁣(⋃k=n∞Bk)=1.P\!\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}B_k\right)=1.
    1. 在同一发散条件下，证明
    P ⁣(lim sup⁡n→∞Bn)=1.P\!\left(\limsup_{n\to\infty}B_n\right)=1.

  2. 设 {Xn}n=1∞\{X_n\}_{n=1}^{\infty} 独立同分布，且每个 XnX_n 都服从标准正态分布；令 Sn=X1+⋯+XnS_n=X_1+\cdots+X_n。

    1. 证明
    P ⁣(lim sup⁡n→∞{∣Xn∣≥log⁡n})=1.P\!\left(\limsup_{n\to\infty} \{|X_n|\geq\sqrt{\log n}\}\right)=1.
    1. 求
    P ⁣(lim sup⁡n→∞{∣Sn∣≥2nlog⁡n}).P\!\left(\limsup_{n\to\infty} \{|S_n|\geq2\sqrt{n\log n}\}\right).

Kai​

解答​

(1)(i)​

独立性と 1−t≤e−t1-t\le e^{-t} （ 0≤t≤10\le t\le1 ）を用いると

P(⋂k=1nBkc)=∏k=1nP(Bkc)=∏k=1n{1−P(Bk)}≤∏k=1ne−P(Bk)=exp⁡(−∑k=1nP(Bk)).\begin{aligned} P\left(\bigcap_{k=1}^nB_k^c\right) &=\prod_{k=1}^nP(B_k^c) =\prod_{k=1}^n\{1-P(B_k)\}\\ &\le\prod_{k=1}^ne^{-P(B_k)} =\exp\left(-\sum_{k=1}^nP(B_k)\right). \end{aligned}

(1)(ii)​

nn を固定する。 m≥nm\ge n に対して (i) と同じ議論から

P(⋂k=nmBkc)≤exp⁡(−∑k=nmP(Bk)).P\left(\bigcap_{k=n}^mB_k^c\right) \le\exp\left(-\sum_{k=n}^mP(B_k)\right).

仮定より右辺は m→∞m\to\infty で 00 に収束する。事象 ⋂k=nmBkc\bigcap_{k=n}^mB_k^c は mm について単調減少するので、確率の上からの連続性より

P(⋂k=n∞Bkc)=0.P\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}B_k^c\right)=0.

余事象を取れば

P(⋃k=n∞Bk)=1\boxed{P\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}B_k\right)=1}

である。

(1)(iii)​

En=⋃k=n∞BkE_n=\bigcup_{k=n}^{\infty}B_k と置くと、 EnE_n は単調減少し、(ii) より P(En)=1P(E_n)=1 である。したがって

P(lim sup⁡n→∞Bn)=P(⋂n=1∞En)=lim⁡n→∞P(En)=1.P\left(\limsup_{n\to\infty}B_n\right) =P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_n\right) =\lim_{n\to\infty}P(E_n)=\boxed{1}.

(2)(i)​

Bn={∣Xn∣≥log⁡n}B_n=\{|X_n|\ge\sqrt{\log n}\} と置く。これらは独立である。 nn が十分大きいとき、与えられた正規分布の裾の下界から

P(Bn)=2π∫log⁡n∞e−y2/2 dy>2π(1log⁡n−1(log⁡n)3/2)n−1/2≥12π1nlog⁡n≥12π1n.\begin{aligned} P(B_n) &=\sqrt{\frac2\pi}\int_{\sqrt{\log n}}^\infty e^{-y^2/2}\,dy\\ &>\sqrt{\frac2\pi}\left(\frac1{\sqrt{\log n}}-\frac1{(\log n)^{3/2}}\right)n^{-1/2}\\ &\ge\frac1{\sqrt{2\pi}}\frac1{\sqrt{n\log n}} \ge\frac1{\sqrt{2\pi}}\frac1n. \end{aligned}

よって ∑nP(Bn)=∞\sum_nP(B_n)=\infty である。(1)(iii) を適用して

P(lim sup⁡n→∞{∣Xn∣≥log⁡n})=1.\boxed{P\left(\limsup_{n\to\infty}\{|X_n|\ge\sqrt{\log n}\}\right)=1}.

(2)(ii)​

正規分布の再生性より、各 nn について厳密に Sn/nS_n/\sqrt n は標準正規分布に従う（これは極限定理ではない）。 Cn={∣Sn∣≥2nlog⁡n}C_n=\{|S_n|\ge2\sqrt{n\log n}\} と置くと、与えられた裾の上界から

P(Cn)=2π∫2log⁡n∞e−y2/2 dy<12πlog⁡n1n2.P(C_n) =\sqrt{\frac2\pi}\int_{2\sqrt{\log n}}^\infty e^{-y^2/2}\,dy <\frac{1}{\sqrt{2\pi\log n}}\frac1{n^2}.

したがって ∑n≥2P(Cn)<∞\sum_{n\ge2}P(C_n)<\infty である。和事象に対する不等式を使えば

P(⋃k=n∞Ck)≤∑k=n∞P(Ck)⟶0.P\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}C_k\right) \le\sum_{k=n}^{\infty}P(C_k)\longrightarrow0.

ゆえに

P(lim sup⁡n→∞{∣Sn∣≥2nlog⁡n})=0.\boxed{P\left(\limsup_{n\to\infty}\{|S_n|\ge2\sqrt{n\log n}\}\right)=0}.
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