東京工業大学情報理工学院数理・計算科学系 2018年8月実施午前問2

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

1 次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}$ 上の通常の位相 $\mathcal{U}$ に対し， $\mathbb{R}$ 上の部分集合族 $\mathcal{U}^*$ を

\mathcal{U}^* = \{G \subset \mathbb{R}; \mathbb{R} \setminus G \text{ が位相空間 } (\mathbb{R}, \mathcal{U}) \text{ におけるコンパクト集合} \} \cup \{\emptyset, \mathbb{R}\}

で定める．ただし $\emptyset$ は空集合を表す．このとき以下の問いに答えよ．必要ならばユークリッド空間 $(\mathbb{R}, \mathcal{U})$ におけるコンパクト集合の諸性質を証明なしに用いてよい．

(1) $\mathcal{U}^*$ は開集合系として $\mathbb{R}$ 上に位相を定めることを示せ．

(2) $\mathbb{R}$ の部分集合 $G$ に関する次の命題を示せ．

$G$ が位相空間 $(\mathbb{R}, \mathcal{U}^*)$ の開集合であるならば $G$ は位相空間 $(\mathbb{R}, \mathcal{U})$ の開集合である．

また，逆が成立するか否かを理由をつけて述べよ．

(3) 位相空間 $(\mathbb{R}, \mathcal{U}^*)$ がハウスドルフ空間であるか否かを理由をつけて述べよ．

设 $\mathcal U$ 为一维 Euclidean 空间 $\mathbb R$ 上的通常拓扑，并定义 $\mathbb R$ 的子集族

\mathcal U^* =\{G\subset\mathbb R\mid \mathbb R\setminus G\text{ 在 }(\mathbb R,\mathcal U)\text{ 中是紧集}\} \cup\{\varnothing,\mathbb R\},

其中 $\varnothing$ 表示空集。必要时可以不加证明地使用 Euclidean 空间 $(\mathbb R,\mathcal U)$ 中紧集的性质。

证明 $\mathcal U^*$ 作为开集族在 $\mathbb R$ 上定义了一个拓扑。
对 $\mathbb R$ 的子集 $G$ ，证明：
- 若 $G$ 是 $(\mathbb R,\mathcal U^*)$ 的开集，则 $G$ 也是 $(\mathbb R,\mathcal U)$ 的开集。
并说明该命题的逆命题是否成立，给出理由。
判断拓扑空间 $(\mathbb R,\mathcal U^*)$ 是否为 Hausdorff 空间，并说明理由。

$\varnothing,\mathbb R\in\mathcal U^*$ である。空でない二つの開集合候補 $U,V$ に対し、

\mathbb R\setminus(U\cap V) =(\mathbb R\setminus U)\cup(\mathbb R\setminus V)

は二つのコンパクト集合の和なのでコンパクトである。一方が空なら共通部分も空である。従って有限共通部分について閉じている。

任意の族 $(U_\lambda)$ を取る。すべて空なら和も空である。それ以外では空でない $U_{\lambda_0}$ を一つ選ぶ。空の元を除いた族について

\mathbb R\setminus\bigcup_\lambda U_\lambda =\bigcap_{U_\lambda\ne\varnothing}(\mathbb R\setminus U_\lambda)

は閉集合であり、コンパクト集合 $\mathbb R\setminus U_{\lambda_0}$ に含まれるためコンパクトである。従って任意和についても閉じており、 $\mathcal U^*$ は位相を定める。

$G\in\mathcal{U}^*$ とする。 $G=\emptyset,\mathbb{R}$ の場合は明らかである。それ以外なら $\mathbb{R}\setminus G$ は通常位相でコンパクト、従って閉集合である。その補集合 $G$ は通常位相で開集合なので、

\boxed{\mathcal{U}^*\subset\mathcal{U}}

である。

逆は成り立たない。例えば $(0,\infty)$ は通常位相では開集合だが、その補集合 $(-\infty,0]$ は有界でなくコンパクトでないため、 $(0,\infty)\notin\mathcal{U}^*$ である。

$U,V\in\mathcal{U}^*$ を非空な開集合とする。もし $U\cap V=\emptyset$ なら

\mathbb{R}=(\mathbb{R}\setminus U)\cup(\mathbb{R}\setminus V)

となる。右辺は二つのコンパクト集合の和なのでコンパクトだが、 $\mathbb{R}$ は通常位相でコンパクトでない。これは矛盾である。従って任意の二つの非空開集合は交わり、異なる二点を互いに素な開近傍で分離できない。よって

\boxed{(\mathbb{R},\mathcal{U}^*)\text{ は Hausdorff 空間ではない}}.