東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2017年8月実施 午前 問B

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Author

peter8rabit, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

数列 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ が，

$$a_{n+1} \leq \frac{1}{2} a_n, \ \ a_n \geq 0$$

を満たすとする．

(1) $n \rightarrow \infty$ のとき， $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ は収束することを示せ．

(2) 級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ は収束するか．収束するならば証明し，収束しないならば反例をあげよ．

题目描述

已知非负数列 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ 满足

$$a_{n+1}\leq\frac12a_n,\qquad a_n\geq0.$$

1. 证明数列 $\{a_n\}$ 在 $n\to\infty$ 时收敛。
2. 判断无穷级数

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$

是否收敛。若结论为收敛，须给出证明；若不收敛，则须给出反例。

Kai

(1)

帰納的に $0\leq a_n\leq 2^{-n}a_0$ である。右辺が $0$ に収束するので、はさみうちの原理から $\boxed{a_n\to0}$。

(2)

$S_m=\sum_{n=0}^m a_n$ とおく。$a_n\geq0$ より $S_m$ は単調増加し、

$$0\leq S_m\leq a_0\sum_{n=0}^m2^{-n} =2a_0(1-2^{-(m+1)})\leq2a_0.$$

したがって上に有界な単調数列として $S_m$ は収束する。よって $\boxed{\sum_{n=0}^{\infty}a_n\text{ は収束する}}$。