東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2017年8月実施 午前 問2

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• Hausdorff-Space

Author

peter8rabit, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

単位円 $S^1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2; x^2 + y^2=1\}$ の部分集合族

$$\mathcal{O} = \{U \subset S^1; S^1 \text{ における } U \text{ の補集合は有限集合} \} \cup \{\emptyset, S^1\}$$

について，以下の問に答えよ．ただし，$\emptyset$ は空集合を表す．

(1) $\mathcal{O}$ は $S^1$ の位相を定めることを示せ．

(2) $(S^1, \mathcal{O})$ はハウスドルフ空間か否かを理由をつけて述べよ．

(3) $(S^1, \mathcal{O})$ は連結か否かを理由をつけて述べよ．

(4) $(S^1, \mathcal{O})$ はコンパクトか否かを理由をつけて述べよ．

题目描述

设单位圆

$$S^1=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2=1\},$$

并定义其子集族

$$\mathcal O= \{U\subset S^1\mid U\text{ 在 }S^1\text{ 中的补集是有限集}\} \cup\{\varnothing,S^1\},$$

其中 $\varnothing$ 表示空集。回答：

1. 证明 $\mathcal O$ 确实定义了 $S^1$ 上的一个拓扑。
2. 说明拓扑空间 $(S^1,\mathcal O)$ 是否为 Hausdorff 空间，并给出理由。
3. 说明 $(S^1,\mathcal O)$ 是否连通，并给出理由。
4. 说明 $(S^1,\mathcal O)$ 是否紧致，并给出理由。

Kai

(1)

$\varnothing,S^1\in\mathcal O$ である。空でない $U,V\in\mathcal O$ の補集合は有限なので

$$S^1\setminus(U\cap V)=(S^1\setminus U)\cup(S^1\setminus V)$$

も有限であり、$U\cap V\in\mathcal O$ である。空集合を含む場合も明らかである。

任意の族 $(U_\lambda)$ に対し、すべて空なら和も空である。それ以外では空でない $U_{\lambda_0}$ を一つ取れば

$$S^1\setminus\bigcup_\lambda U_\lambda \subset S^1\setminus U_{\lambda_0}$$

は有限である。従って任意和も $\mathcal O$ に属し、$\mathcal O$ は位相を定める。

(2)

空でない二つの開集合が互いに素なら、その有限な補集合二つの和が無限集合 $S^1$ に等しくなり矛盾する。異なる二点を互いに素な開近傍で分離できないので、Hausdorff 空間ではない。

(3)

(2) より、空でない二つの開集合による分離が存在しない。従って 連結である。

(4)

任意の開被覆から空でない開集合 $U_0$ を一つ選ぶ。$S^1\setminus U_0$ は有限集合なので、その各点を覆う開集合を一つずつ選べば、$U_0$ と合わせて有限部分被覆になる。従って コンパクトである。