東京工業大学情報理工学院数理・計算科学系 2016年8月実施午前問5

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

(1) 確率 $p\in(0,1)$ で表の出るコイン投げを考える。表が出るまでの投擲回数の期待値と分散を $p$ を用いて表せ。

(2) 袋の中に $N\geq2$ 種類の玉が一つずつ入っている。無作為に一つ取り出し、種類を記録して袋に戻す操作を試行と呼ぶ。各試行は独立で、玉の種類は一様分布に従う。 $k$ 種類を記録するまでの試行回数を $S_k$ とする。

(i) $S_{k+1}-S_k$ の期待値と分散を $N,k$ を用いて表せ。ただし、 $S_{k+1}-S_k$ が残り $N-k$ 種類の内の一つを取り出すまでに繰り返した試行の数であることに注意せよ。

(ii) $S_N$ の期待値と分散をそれぞれ $\mu,\sigma^2$ とするとき、

\mu=N\sum_{i=1}^N\frac1i, \qquad \sigma^2=N\sum_{i=1}^{N-1}\frac{N-i}{i^2}

を証明せよ。

一枚硬币在每次投掷中以概率 $p\in(0,1)$ 出现正面。求从开始投掷到首次出现正面为止的投掷次数的期望和方差，并用 $p$ 表示结果。
袋中共有 $N$ 类球，每类恰有一只，其中 $N\geq2$ 。每轮从袋中等概率抽取一只球，记下类别后放回；各轮抽取相互独立。以 $S_k$ 表示首次记录到 $k$ 个不同类别时累计进行的抽取次数。
1. 分别用 $N$ 和 $k$ 表示增量 $S_{k+1}-S_k$ 的期望与方差。可利用如下事实：该增量就是直到抽中剩余 $N-k$ 类中的某一类为止所需的试验次数。
2. 证明收集完全部 $N$ 类球所需次数 $S_N$ 的期望 $\mu$ 与方差 $\sigma^2$ 满足

\mu=N\sum_{i=1}^N\frac1i, \qquad \sigma^2=N\sum_{i=1}^{N-1}\frac{N-i}{i^2}.

最初の表が出るまでの回数 $T$ は成功確率 $p$ 、台 $\{1,2,\ldots\}$ の幾何分布に従う。したがって

\boxed{E[T]=\frac1p, \qquad \operatorname{Var}(T)=\frac{1-p}{p^2}}.

$k$ 種類を既に記録した時点で、次の試行が未記録の種類を与える確率は

q_k=\frac{N-k}{N}

である。よって $D_k=S_{k+1}-S_k$ は成功確率 $q_k$ の幾何分布に従い、

\boxed{E[D_k]=\frac{N}{N-k}},

\boxed{\operatorname{Var}(D_k) =\frac{1-q_k}{q_k^2} =\frac{kN}{(N-k)^2}}.

$S_0=0$ とおけば

S_N=\sum_{k=0}^{N-1}D_k.

過去の全履歴を条件としても、 $k$ 種類を集めた後の待ち時間は成功確率 $(N-k)/N$ の幾何分布であり、その条件付き分布は履歴に依存しない。従って $D_k$ は互いに独立であり、

\begin{aligned} E[S_N] &=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{N}{N-k} =N\sum_{i=1}^{N}\frac1i. \end{aligned}

また

\begin{aligned} \operatorname{Var}(S_N) &=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{kN}{(N-k)^2}\\ &=N\sum_{i=1}^{N}\frac{N-i}{i^2} =N\sum_{i=1}^{N-1}\frac{N-i}{i^2}, \end{aligned}

となり、所望の式を得る。