東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2016年8月実施 午前 問2

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• Hausdorff-Space

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

有限集合 $S=\{a,b,c,d\}$ について、部分集合の族

$$\mathcal O=\{\varnothing,\{a\},\{c\},\{a,c\},\{b,c,d\},S\}$$

を考える。

(1) $\mathcal O$ が $S$ の開集合系であることを示せ。

(2) 位相空間 $(S,\mathcal O)$ における $\{b\}$ の閉包を求めよ。

(3) $(S,\mathcal O)$ は Hausdorff 空間か否か、理由をつけて述べよ。

题目描述

令 $S=\{a,b,c,d\}$，并给定集合族

$$\mathcal O=\{\varnothing,\{a\},\{c\},\{a,c\},\{b,c,d\},S\}.$$

回答下列问题：

1. 证明 $\mathcal O$ 是 $S$ 上的一个拓扑。
2. 求子集 $\{b\}$ 在拓扑空间 $(S,\mathcal O)$ 中的闭包。
3. 判断 $(S,\mathcal O)$ 是否为 Hausdorff 空间。

Kai

(1)

$\varnothing,S\in\mathcal O$ である。集合族は有限なので、任意和については有限個の異なる元の和だけを調べればよい。

$\{a\},\{c\},\{a,c\}$ の間の和・共通部分は再びこの 3 集合または $\varnothing$ である。また $U=\{b,c,d\}$ とすると

$$U\cup\{a\}=U\cup\{a,c\}=S, \qquad U\cup\{c\}=U,$$

$$U\cap\{a\}=\varnothing, \qquad U\cap\{c\}=U\cap\{a,c\}=\{c\}.$$

したがって任意和と有限共通部分について閉じており、$\mathcal O$ は $S$ 上の位相である。

(2)

閉集合は開集合の補集合なので

$$S,\ \{b,c,d\},\ \{a,b,d\},\ \{b,d\},\ \{a\},\ \varnothing$$

である。このうち $\{b\}$ を含む最小の閉集合は $\{b,d\}$ だから

$$\boxed{\overline{\{b\}}=\{b,d\}}.$$

(3)

$b$ を含む開集合も $d$ を含む開集合も $\{b,c,d\}$ と $S$ の 2 個だけである。よって $b$ と $d$ のどの開近傍も共通部分を持ち、互いに素な開近傍で分離できない。したがって

$$\boxed{(S,\mathcal O)\text{ は Hausdorff 空間ではない}}.$$