東京工業大学 情報理工学院 情報工学系 2021年8月実施 午前 1.

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• Unitary-Matrix
• Spectral-Decomposition-of-Hermitian-Matrix

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

題意の要約

大学公開の原題、2 ページ

実行列

$$A=\frac13\begin{pmatrix}1&-2&-2\\-2&1&-2\\-2&-2&1\end{pmatrix}$$

について、次を求める。

1. $\det A$。
2. $3\times3$ 単位行列を $I$、変数を $x$ としたときの $\det(xI-A)$。
3. すべての固有値。
4. 各固有値の固有空間の基底。
5. ユニタリ行列の定義と、$A$ がその条件を満たすことの確認。
6. エルミート行列の定義と、$A$ がその条件を満たすことの確認。
7. $A=BDB^*$ を満たす行列 $B$ と対角行列 $D$。$B^*$ は $B$ の共役転置を表す。

题目描述

给定实矩阵

$$A=\frac13 \begin{pmatrix} 1&-2&-2\\ -2&1&-2\\ -2&-2&1 \end{pmatrix},$$

其中上标 $*$ 表示共轭转置。回答：

1. 求 $\det A$。

2. 求特征多项式 $\det(xI-A)$ 并因式分解。

3. 求 $A$ 的全部特征值。

4. 分别求 $A$ 对应于各特征值的特征空间的一组基。

5. 说明复方阵 $U$ 为酉矩阵的条件，并判断 $A$ 是否为酉矩阵、给出理由。

6. 说明复方阵 $H$ 为 Hermitian 矩阵的条件，并判断 $A$ 是否为 Hermitian 矩阵、给出理由。

7. 求酉矩阵 $B$ 和对角矩阵 $D$，使

   $$A=BDB^*.$$

   对角矩阵中的特征值可按以下次序排列

   $$D=\operatorname{diag}(-1,1,1).$$

Kai

1)

$$\begin{aligned} \det A &= \frac{1}{27} \left( (1-8-8) - (4+4+4) \right) \\ &= -1 \end{aligned}$$

2)

$$\begin{aligned} \det (xI-A) &= x^3-x^2-x+1 \\ &= (x+1)(x-1)^2 \end{aligned}$$

3)

2. より、 $A$ の固有値は $-1, 1$ である。

4)

$A$ の固有値 $-1$ に対する固有空間（これは1次元である）の基底を求めるために、

$$\begin{aligned} \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $x=y=z$ を得るので、例えば、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

が基底になる。

$A$ の固有値 $1$ に対する固有空間の基底を求めるために、

$$\begin{aligned} \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $x+y+z=0$ を得るので、例えば、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

が基底になる。

5)

複素正方行列 $U$ とその共役転置 $U^*$ について、

$$\begin{aligned} U^* U = U U^* = \text{単位行列} \end{aligned}$$

が成り立つとき、 $U$ はユニタリ行列であるという。

与えられた $A$ について、

$$\begin{aligned} A^* = A \end{aligned}$$

であり、計算から

$$\begin{aligned} A^2 = I \end{aligned}$$

がわかるので、 $A$ はユニタリ行列である。

6)

複素正方行列 $H$ とその共役転置 $H^*$ について、

$$\begin{aligned} H = H^* \end{aligned}$$

が成り立つとき、 $H$ はエルミート行列であるという。

与えられた $A$ について、

$$\begin{aligned} A^* = A \end{aligned}$$

であるので、 $A$ はエルミート行列である。

7)

4. で $A$ の固有値 $1$ に対する固有空間の基底を求めたが、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

のように選ぶこともでき、このようにすると直交した基底になる。

したがって、規格化も考慮して、

$$\begin{aligned} B = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{3} & 1 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{3} & 1 \\ \sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} A = BDB^* , \ \ D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

が成り立つことがわかる。