東京工業大学 情報理工学院 情報工学系 2019年8月実施 午前 1.

标签：

• institute-of-science-tokyo
• Limit
• Matrix-Determinant
• Cumulative-Distribution-Function-and-Probability-Density-Function
• Expectation-and-Variance
• Bayes-Theorem
• Exact-Binomial-Test

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

日本語

1. 次の極限を求めよ。

   a) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{\log_e(2x+3)-\log_e x\}$。

   b) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x\sin x}$。

   c) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-\cos x}{x}$。

2. 次の実行列の積の行列式を計算せよ。

   $$\begin{pmatrix}1&0&0\\x&2&1\\x^2&3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}31&23&17\\0&11&11\\0&4&5\end{pmatrix}.$$

3. 次の確率密度関数に従う連続型確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ と累積分布関数 $F_X(x)$ を求めよ。ただし、整数 $n\ge1$ に対して $\lim_{x\to+0}x^n\log_e x=0$ とする。

   $$f_X(x)=\begin{cases}-4x\log_e x,&0<x\le1,\\0,&x\le0\text{ または }x>1.\end{cases}$$

4. ある製造ラインの製品は確率 $1/1000$ で不良品である。検査法は、不良品を確率 $99/100$ で正しく不良品と判定し、不良品ではない製品を確率 $4/5$ で正しく不良品ではないと判定する。この検査法で不良品と判定された製品が、実際に不良品である確率を求めよ。

5. カジノのルーレットにはポケット A、B、C、D があり、カジノは各ポケットにボールが入る確率が等しいと説明している。5回の試行でAに4回入った。「このルーレットはAにより入りやすい」という仮説を有意水準 $5\%$ で検定せよ。帰無仮説 $H_0$ と対立仮説 $H_1$ を明記すること。

题目描述

1. 求下列极限：

   a) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{\log_e(2x+3)-\log_e x\}$。

   b) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x\sin x}$。

   c) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-\cos x}{x}$。

2. 计算下列矩阵乘积的行列式：

   $$\begin{pmatrix}1&0&0\\x&2&1\\x^2&3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}31&23&17\\0&11&11\\0&4&5\end{pmatrix}.$$

3. 连续随机变量 $X$ 的密度为

   $$f_X(x)=\begin{cases}-4x\log_e x,&0<x\le1,\\0,&x\le0\text{ 或 }x>1.\end{cases}$$

   求方差 $V(X)$ 和累积分布函数 $F_X(x)$。可使用：对整数 $n\ge1$，$\lim_{x\to0^+}x^n\log_e x=0$。

4. 某生产线的产品不良率为 $1/1000$。检测方法以 $99/100$ 的概率正确检出不良品，以 $4/5$ 的概率正确判定良品。求被判定为不良品的产品实际上是不良品的概率。

5. 赌场轮盘有 A、B、C、D 四个口袋，赌场宣称球落入各口袋的概率相同。5次试验中球有4次落入A。以 $5\%$ 显著性水平检验“球更容易落入A”的假设，并明确写出原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$。

Kai

1)

a)

$$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \left\{ \log_e (2x+3) - \log_e (x) \right\} &= \lim_{x \to \infty} \log_e \left( 2 + \frac{3}{x} \right) \\ &= \log_e 2 \end{aligned}$$

b)

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x} &= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \left(1 - \frac{1}{2} x^2 + \cdots \right)}{x \cdot ( x + \cdots )} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

c)

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - \cos x}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{( 1 + 3x + \cdots ) - \left(1 - \frac{1}{2} x^2 + \cdots \right)}{x} \\ &= 3 \end{aligned}$$

2)

$$\begin{aligned} \det \left[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 2 & 1 \\ x^2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 31 & 23 & 17 \\ 0 & 11 & 11 \\ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix} \right] &= \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 2 & 1 \\ x^2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 31 & 23 & 17 \\ 0 & 11 & 11 \\ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot 31 \det \begin{pmatrix} 11 & 11 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \\ &= 1 \cdot 31 \cdot 11 \\ &= 341 \end{aligned}$$

3)

$$\begin{aligned} E(X) &= -4 \int_0^1 x^2 \log_e (x) dx \\ &= \frac{4}{9} \\ E(X^2) &= -4 \int_0^1 x^3 \log_e (x) dx \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} V(X) &= \frac{1}{4} - \left( \frac{4}{9} \right)^2 \\ &= \frac{17}{324} \end{aligned}$$

また、 $0 < x \leq 1$ について、

$$\begin{aligned} F_X(x) &= -4 \int_0^x y \log_e (y) dy \\ &= -2 x^2 \log_e(x) + x^2 \end{aligned}$$

したがって、全実数での累積分布関数は

$$F_X(x)=\begin{cases} 0,&x\le0,\\ x^2-2x^2\log_e x,&0<x\le1,\\ 1,&x>1. \end{cases}$$

4)

$$\begin{aligned} \frac{ \frac{1}{1000} \cdot \frac{99}{100}} { \frac{1}{1000} \cdot \frac{99}{100} + \frac{999}{1000} \cdot \frac{1}{5}} = \frac{11}{2231} \end{aligned}$$

5)

ボールがポケットAに入る確率を $p$ とすると、

$$\begin{aligned} H_0 : p = \frac{1}{4} , \ \ \ \ H_1 : p \gt \frac{1}{4} \end{aligned}$$

と表せる。 $H_0$ の下で、5回試行中4回Aに入る確率は、

$$\begin{aligned} {}_5 C_4 \left( \frac{1}{4} \right)^4 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4^5} \end{aligned}$$

であり、5回試行中5回Aに入る確率は、

$$\begin{aligned} {}_5 C_5 \left( \frac{1}{4} \right)^5 = \frac{1}{4^5} \end{aligned}$$

であるから、p値は

$$\begin{aligned} \frac{15}{4^5} + \frac{1}{4^5} = \frac{16}{4^5} = \frac{1}{64} \approx 0.0156 \end{aligned}$$

となり、有意水準5%で、 $H_0$ は棄却され、 $H_1$ が採択される。