東京工業大学 情報理工学院 情報工学系 2018年8月実施 午前 4.

标签：

• 东京科学大学
• 拉普拉斯变换

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

実関数 $f(t)$ の Laplace 変換を

$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt,\qquad\operatorname{Re}s>0$$

とする。

1. (a) $f(t)=t$、(b) $f(t)=\sin\omega t$（$\omega$ は実定数）の変換を求めよ。
2. 単位ステップ $u(t)$ の変換は $1/s$ である。$T_1>0$ とし、$p(t)=u(t)-u(t-T_1)$ の変換 $P(s)$ を求めよ。
3. $g$ の Laplace 変換を $G(s)$ とする。$T>0$ のとき $\int_0^\infty g(t-T)u(t-T)e^{-st}dt$ を $G(s)$ で表せ。

题目描述

计算斜坡和正弦函数的单边拉普拉斯变换、有限宽度单位脉冲的变换，并推导延时定理。

Kai

1)

(a) 部分積分により

$$\boxed{\mathcal L[t](s)=\frac1{s^2}}.$$

(b) $\sin\omega t=(e^{i\omega t}-e^{-i\omega t})/(2i)$ より

$$\boxed{\mathcal L[\sin\omega t](s)=\frac1{2i}\left(\frac1{s-i\omega}-\frac1{s+i\omega}\right)=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}.$$

2)

$$\boxed{P(s)=\int_0^{T_1}e^{-st}dt=\frac{1-e^{-sT_1}}s}.$$

3)

$\tau=t-T$ と変数変換すると

$$\int_T^\infty g(t-T)e^{-st}dt=e^{-sT}\int_0^\infty g(\tau)e^{-s\tau}d\tau=\boxed{e^{-sT}G(s)}.$$