東京工業大学 情報理工学院 情報工学系 2018年8月実施 午前 1.

标签：

• institute-of-science-tokyo
• Matrix-Determinant
• Orthogonal-Complement
• Taylor-Series
• Conditional-Probability

Author

Miyake, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

1. 次の行列式を計算せよ。ただし(c)は $x$ の多項式で示せ。

$$\text{(a)}\ \begin{vmatrix}3&-1\\2&5\end{vmatrix},\quad \text{(b)}\ \begin{vmatrix}2&-1&0\\2&3&-1\\1&-2&-1\end{vmatrix},\quad \text{(c)}\ \begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&-1&x&2\\1&1&x^2&4\\1&-1&x^3&8\end{vmatrix}.$$

2. 実計量ベクトル空間の部分空間 $W$ の基底が $(1,1,0,1)^T,(0,1,-1,0)^T$ である。内積を $x^Ty=\sum_i x_iy_i$ と定義するとき、$W^\perp$ の基底を1つ求めよ。
3. (a) $f(x)=\log_e(1+x)$ の1次導関数、(b) $k$ 次導関数を求めよ（$x>-1$）。(c) $g(x)=\log_e(1-x^2)$ を Maclaurin 展開したときの $x^n$ の係数を $n\ge1$ について求めよ（$-1<x<1$）。
4. $X,Y\in\{0,1\}$、$P_X(0)=p$、$P_X(1)=1-p$ とし、$0<p<1$ とする。$P_{Y\mid X}(y\mid x)=1-q$ if $x=y$、$q$ if $x\ne y$（$0<q<1$）と定義するとき、$P_{X\mid Y}(1\mid0)$ を求めよ。

题目描述

计算三个行列式，第三个须展开为多项式；求给定子空间的正交补基；求对数函数的高阶导数与 $\log(1-x^2)$ 的级数系数；用 Bayes 公式求二元随机变量的后验概率。

Kai

1)

a)

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} &= 3 \cdot 5 - 2 \cdot (-1) \\ &= 17 \end{aligned}$$

b)

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} &= (-6+1) - (4+2) \\ &= -11 \end{aligned}$$

c)

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & x & 2 \\ 1 & 1 & x^2 & 4 \\ 1 & -1 & x^3 & 8 \end{vmatrix} &= 6(x+1)(x-1)(x-2)\\ &= 6x^3-12x^2-6x+12 \end{aligned}$$

2)

$W^\perp$ に属するベクトルを $(x,y,z,w)^T$ とすると、 $(1,1,0,1)^T$ と直交することから $x+y+w=0$ でなければならず、 $(0,1,-1,0)^T$ と直交することから $y-z=0$ でなければならない。 よって、 $W^\perp$ の基底としては、例えば、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

がある。

3)

a)

$$\begin{aligned} f^{(1)}(x) = \frac{1}{1+x} \end{aligned}$$

b)

$$\begin{aligned} f^{(2)}(x) &= -\frac{1}{(1+x)^2} \\ f^{(3)}(x) &= \frac{2}{(1+x)^3} \\ f^{(4)}(x) &= - \frac{3 \cdot 2}{(1+x)^4} \\ &\cdots \end{aligned}$$

より、 $k = 1, 2, \cdots$ について

$$\begin{aligned} f^{(k)}(x) &= \frac{(-1)^{k+1} (k-1)!}{(1+x)^k} \end{aligned}$$

がわかる。

c)

$f(0)=0$ であり、 $k=1,2, \cdots$ について

$$\begin{aligned} f^{(k)}(0) &= (-1)^{k+1} (k-1)! \end{aligned}$$

であるから、 $f(x)$ のマクローリン展開は

$$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1} (k-1)!}{k!} x^k \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k \end{aligned}$$

である（実数 $x$ に対してこの級数が $f(x)$ に収束する範囲は $-1<x\leq 1$）。

よって、

$$\begin{aligned} g(x) &= f \left( -x^2 \right) \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} \left( -x^2 \right)^k \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{-1}{k} x^{2k} \end{aligned}$$

がわかる（$|x|<1$）。

したがって、 $n \geq 1$ について $x^n$ の項の係数は、 $n$ が奇数のときは $0$ であり、 $n$ が偶数のときは $-2/n$ である。

4)

$X$ が $0$ かつ $Y$ が $0$ である確率は

$$\begin{aligned} P_X(0) P_{Y|X}(0|0) = p(1-q) \end{aligned}$$

であり、 $X$ が $1$ かつ $Y$ が $0$ である確率は

$$\begin{aligned} P_X(1) P_{Y|X}(0|1) = (1-p)q \end{aligned}$$

であるから、求める確率は、

$$\begin{aligned} P_{X|Y}(1|0) &= \frac{(1-p)q}{p(1-q)+(1-p)q} \\ &= \frac{(1-p)q}{p+q-2pq} \end{aligned}$$

である。$0<p,q<1$ なので分母は正である。