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東京工業大学 情報理工学院 情報工学系 2018年8月実施 午前 1.

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Author​

Miyake, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

  1. 次の行列式を計算せよ。ただし(c)は xx の多項式で示せ。
(a) ∣3−125∣,(b) ∣2−1023−11−2−1∣,(c) ∣11111−1x211x241−1x38∣.\text{(a)}\ \begin{vmatrix}3&-1\\2&5\end{vmatrix},\quad \text{(b)}\ \begin{vmatrix}2&-1&0\\2&3&-1\\1&-2&-1\end{vmatrix},\quad \text{(c)}\ \begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&-1&x&2\\1&1&x^2&4\\1&-1&x^3&8\end{vmatrix}.
  1. 実計量ベクトル空間の部分空間 WW の基底が (1,1,0,1)T,(0,1,−1,0)T(1,1,0,1)^T,(0,1,-1,0)^T である。内積を xTy=∑ixiyix^Ty=\sum_i x_iy_i と定義するとき、W⊥W^\perp の基底を1つ求めよ。
  2. (a) f(x)=log⁡e(1+x)f(x)=\log_e(1+x) の1次導関数、(b) kk 次導関数を求めよ（x>−1x>-1）。(c) g(x)=log⁡e(1−x2)g(x)=\log_e(1-x^2) を Maclaurin 展開したときの xnx^n の係数を n≥1n\ge1 について求めよ（−1<x<1-1<x<1）。
  3. X,Y∈{0,1}X,Y\in\{0,1\}、PX(0)=pP_X(0)=p、PX(1)=1−pP_X(1)=1-p とし、0<p<10<p<1 とする。PY∣X(y∣x)=1−qP_{Y\mid X}(y\mid x)=1-q if x=yx=y、qq if x≠yx\ne y（0<q<10<q<1）と定義するとき、PX∣Y(1∣0)P_{X\mid Y}(1\mid0) を求めよ。

题目描述​

计算三个行列式，第三个须展开为多项式；求给定子空间的正交补基；求对数函数的高阶导数与 log⁡(1−x2)\log(1-x^2) 的级数系数；用 Bayes 公式求二元随机变量的后验概率。

Kai​

1)​

a)​

∣3−125∣=3⋅5−2⋅(−1)=17 \begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} &= 3 \cdot 5 - 2 \cdot (-1) \\ &= 17 \end{aligned}

b)​

∣2−1023−11−2−1∣=(−6+1)−(4+2)=−11 \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} &= (-6+1) - (4+2) \\ &= -11 \end{aligned}

c)​

∣11111−1x211x241−1x38∣=6(x+1)(x−1)(x−2)=6x3−12x2−6x+12 \begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & x & 2 \\ 1 & 1 & x^2 & 4 \\ 1 & -1 & x^3 & 8 \end{vmatrix} &= 6(x+1)(x-1)(x-2)\\ &= 6x^3-12x^2-6x+12 \end{aligned}

2)​

W⊥W^\perp に属するベクトルを (x,y,z,w)T(x,y,z,w)^T とすると、 (1,1,0,1)T(1,1,0,1)^T と直交することから x+y+w=0x+y+w=0 でなければならず、 (0,1,−1,0)T(0,1,-1,0)^T と直交することから y−z=0y-z=0 でなければならない。 よって、 W⊥W^\perp の基底としては、例えば、

(100−1),  (1−1−10) \begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

がある。

3)​

a)​

f(1)(x)=11+x \begin{aligned} f^{(1)}(x) = \frac{1}{1+x} \end{aligned}

b)​

f(2)(x)=−1(1+x)2f(3)(x)=2(1+x)3f(4)(x)=−3⋅2(1+x)4⋯ \begin{aligned} f^{(2)}(x) &= -\frac{1}{(1+x)^2} \\ f^{(3)}(x) &= \frac{2}{(1+x)^3} \\ f^{(4)}(x) &= - \frac{3 \cdot 2}{(1+x)^4} \\ &\cdots \end{aligned}

より、 k=1,2,⋯k = 1, 2, \cdots について

f(k)(x)=(−1)k+1(k−1)!(1+x)k \begin{aligned} f^{(k)}(x) &= \frac{(-1)^{k+1} (k-1)!}{(1+x)^k} \end{aligned}

がわかる。

c)​

f(0)=0f(0)=0 であり、 k=1,2,⋯k=1,2, \cdots について

f(k)(0)=(−1)k+1(k−1)! \begin{aligned} f^{(k)}(0) &= (-1)^{k+1} (k-1)! \end{aligned}

であるから、 f(x)f(x) のマクローリン展開は

f(x)=∑k=1∞(−1)k+1(k−1)!k!xk=∑k=1∞(−1)k+1kxk \begin{aligned} f(x) &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1} (k-1)!}{k!} x^k \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k \end{aligned}

である（実数 xx に対してこの級数が f(x)f(x) に収束する範囲は −1<x≤1-1<x\leq 1）。

よって、

g(x)=f(−x2)=∑k=1∞(−1)k+1k(−x2)k=∑k=1∞−1kx2k \begin{aligned} g(x) &= f \left( -x^2 \right) \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} \left( -x^2 \right)^k \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{-1}{k} x^{2k} \end{aligned}

がわかる（∣x∣<1|x|<1）。

したがって、 n≥1n \geq 1 について xnx^n の項の係数は、 nn が奇数のときは 00 であり、 nn が偶数のときは −2/n-2/n である。

4)​

XX が 00 かつ YY が 00 である確率は

PX(0)PY∣X(0∣0)=p(1−q) \begin{aligned} P_X(0) P_{Y|X}(0|0) = p(1-q) \end{aligned}

であり、 XX が 11 かつ YY が 00 である確率は

PX(1)PY∣X(0∣1)=(1−p)q \begin{aligned} P_X(1) P_{Y|X}(0|1) = (1-p)q \end{aligned}

であるから、求める確率は、

PX∣Y(1∣0)=(1−p)qp(1−q)+(1−p)q=(1−p)qp+q−2pq \begin{aligned} P_{X|Y}(1|0) &= \frac{(1-p)q}{p(1-q)+(1-p)q} \\ &= \frac{(1-p)q}{p+q-2pq} \end{aligned}

である。0<p,q<10<p,q<1 なので分母は正である。

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