東京工業大学 情報理工学院 情報工学系 2017年8月実施 午前 5.

标签：

• 东京科学大学
• 傅里叶级数
• 帕塞瓦尔恒等式
• 傅里叶变换的尺度变换与频移

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

1. 周期 $2\pi$ の区分的に滑らかな周期関数について、不連続点を除いて Fourier 級数を $f(x)=a_0/2+\sum_{k\ge1}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ とする。その係数は

$$a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\qquad a_k=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx,\qquad b_k=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\,dx \quad(k=1,2,\ldots)$$

である。 (a) $f_1(x)=x^2\ (-\pi<x\le\pi)$ の係数を求めよ。 (b) この結果から $\sum_{k\ge1}1/k^2$ と $\sum_{k\ge1}1/k^4$ を求めよ。必要ならば Parseval の等式

$$\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\{f(x)\}^2\,dx =\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k^2+b_k^2)$$

を用いてよい。 (c) $f_2(x)=-\pi\ (-\pi<x\le0)$、$f_2(x)=x-\pi\ (0<x\le\pi)$ を周期延長した関数の係数を求めよ。 (d) $f_2$ の不連続点付近での Fourier 級数の振舞いを説明せよ。

2. $-\infty<t<\infty$ で区分的に連続かつ絶対可積分な関数 $f(t)$ の Fourier 変換を $\mathcal F[f](\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}dt$ とする。$i$ は虚数単位、$\omega$ は実数である。以下の $g(t)$ も同じ連続性・可積分性を満たし、$a,b,\omega_0$ は実定数とする。 (a) 線形性 $\mathcal F[af+bg]=a\mathcal F[f]+b\mathcal F[g]$ と、$\mathcal F[f(t)e^{i\omega_0t}](\omega)=\mathcal F[f](\omega-\omega_0)$ を示せ。 (b) $F=\mathcal F[f]$ を用いて、$f(t)\cos\omega_0t$ と $f(t)\cos^2\omega_0t$ の変換を表せ。 (c) $|F(\omega)|$ は頂点 $(0,F_0)$、両端 $(\pm\omega_1,0)$ の三角形で、$|\omega|>\omega_1$ では $0$ とする。$\omega_0>2\omega_1>0$ のとき、$g(t)=f(t)\cos\omega_0t$、$h(t)=g(t)\cos\omega_0t$ の変換の絶対値を図示し、$g$ から $f$ を復元する方法を述べよ。

题目描述

求两个周期函数的傅里叶系数、平方倒数与四次方倒数级数和，并说明 Gibbs 现象；证明线性性和调制性质，画出一次和二次余弦调制后的频谱及给出解调方法。第 1 问给出上述系数积分公式，并允许使用所列 Parseval 等式；级数表示避开不连续点。第 2 问的函数在整条实轴上分段连续且绝对可积，线性组合系数 $a,b$ 和频移参数 $\omega_0$ 均为实常数。

Kai

1)

a)

偶関数なので $b_k=0$。積分により

$$a_0=\frac2\pi\int_0^\pi x^2dx=\frac{2\pi^2}3,\qquad a_k=\frac2\pi\int_0^\pi x^2\cos kx\,dx=\frac{4(-1)^k}{k^2}.$$

従って $x^2=\pi^2/3+4\sum_{k\ge1}(-1)^k\cos(kx)/k^2$。

b)

$x=\pi$ を代入して

$$\boxed{\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}6}.$$

Parseval の等式から

$$\frac{2\pi^4}5=\frac{2\pi^4}9+16\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^4},\qquad \boxed{\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^4}=\frac{\pi^4}{90}}.$$

c)

定義の2区間で積分すると

$$\boxed{a_0=-\frac{3\pi}2,\qquad a_k=\frac{(-1)^k-1}{\pi k^2},\qquad b_k=\frac{(-1)^{k+1}}k}.$$

d)

不連続点は $x=(2m+1)\pi$ で、左右の極限は $0,-\pi$。級数はそこで平均値 $-\pi/2$ に収束する。部分和は不連続点付近で振動し、項数を増すと振動域は狭くなるが、最大超過量は消えない（Gibbs 現象）。

2)

a)

積分の線形性から第一式が従う。また

$$\int f(t)e^{i\omega_0t}e^{-i\omega t}dt=\int f(t)e^{-i(\omega-\omega_0)t}dt=F(\omega-\omega_0).$$

b)

$\cos\theta=(e^{i\theta}+e^{-i\theta})/2$ および $\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2$ より

$$\boxed{\mathcal F[f\cos\omega_0t](\omega)=\tfrac12F(\omega-\omega_0)+\tfrac12F(\omega+\omega_0)},$$

$$\boxed{\mathcal F[f\cos^2\omega_0t](\omega)=\tfrac12F(\omega)+\tfrac14F(\omega-2\omega_0)+\tfrac14F(\omega+2\omega_0)}.$$

c)

各成分の台が重ならないので、絶対値の概形は次のとおり。

$|G|$ は中心 $\pm\omega_0$、高さ $F_0/2$、半幅 $\omega_1$ の2つの三角形。$|H|$ は中心 $0$、高さ $F_0/2$ の三角形と、中心 $\pm2\omega_0$、高さ $F_0/4$ の2つの三角形である。

$g(t)$ に $\cos\omega_0t$ を掛け、遮断角周波数 $\omega_c$ が $\omega_1<\omega_c<2\omega_0-\omega_1$ の理想低域通過フィルタを通すと $f(t)/2$ を得る。これを2倍すれば元の $f(t)$ が復元される。