東京工業大学 情報理工学院 情報工学系 2017年8月実施 午前 1.

标签：

• institute-of-science-tokyo
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Gram-Schmidt-Orthogonalization
• Multivariable-Differentiation

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

1. $x_1=(1,2,2)^T$, $x_2=(-1,0,2)^T$, $x_3=(0,0,1)^T$ について、(a) 線形独立か根拠とともに答え、(b) この順に Gram–Schmidt 法を適用して張る空間の正規直交基底を求めよ。
2. $A=\begin{pmatrix}3&2&2\\2&3&-2\end{pmatrix}$ について、(a) $A^TA$、(b) そのランク、(c) 固有値、(d) 正規化された固有ベクトルを求めよ。
3. $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+2xy+2xz+3$ について、(a) $f_x,f_y,f_z$、(b) 全臨界点を求めよ。

题目描述

判断三个向量是否线性无关并按指定顺序正交归一化；计算矩阵的 Gram 矩阵、秩和谱分解；求三元二次函数的一阶偏导数及全部驻点。

Kai

1)

(a) $\det(x_1,x_2,x_3)=2\ne0$ なので線形独立である。

(b) 順次射影を除くと

$$u_1=x_1,\quad u_2=x_2-\frac{x_1^Tx_2}{x_1^Tx_1}x_1=\frac13(-4,-2,4)^T,$$

$$u_3=x_3-(e_1^Tx_3)e_1-(e_2^Tx_3)e_2=\frac19(2,-2,1)^T.$$

したがって求める基底は

$$\boxed{e_1=\frac13(1,2,2)^T,\quad e_2=\frac13(-2,-1,2)^T,\quad e_3=\frac13(2,-2,1)^T}.$$

2)

(a)

$$B=A^TA=\begin{pmatrix}13&12&2\\12&13&-2\\2&-2&8\end{pmatrix}.$$

(b) $A$ の左2列の小行列式は $9-4=5\ne0$。よって $\operatorname{rank}B=\operatorname{rank}A=2$。

(c) $\det(\lambda I-B)=\lambda(\lambda-9)(\lambda-25)$ より、固有値は $\boxed{0,9,25}$。

(d) 対応する単位固有ベクトルは

$$\lambda=0:\ \frac13(-2,2,1)^T,\quad \lambda=9:\ \frac1{3\sqrt2}(1,-1,4)^T,\quad \lambda=25:\ \frac1{\sqrt2}(1,1,0)^T.$$

3)

(a) $f_x=2x+2y+2z$, $f_y=4y+2x$, $f_z=6z+2x$。

(b) 後二式から $y=-x/2$, $z=-x/3$。第一式に代入すると $x/3=0$ となるので、臨界点は $\boxed{(0,0,0)}$ のみである。