東京工業大学 情報理工学院 情報工学系 2016年8月実施 午前 4.

标签：

• 东京科学大学
• 傅里叶级数
• 帕塞瓦尔恒等式
• 狄拉克梳状函数的傅里叶变换

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

1. 周期 $2\pi$ の区分的に滑らかな実関数を

$$f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$$

と展開する。その係数は

$$a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\qquad a_k=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx,\qquad b_k=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\,dx$$

である。(a) $f_1(x)=x\ (-\pi\le x<\pi)$、(b) $f_2(x)=1$ for $-\pi/2\le x<\pi/2$、それ以外は $-1$（ともに周期延長）の係数を求めよ。(c) Parseval の等式

$$\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx=\frac{a_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k^2+b_k^2)$$

を導け。

2. $X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt$ とする。(a) $g(t)=\sum_{k\in\mathbb Z}\delta(t-kT)$ の変換が $G(\omega)=\frac{2\pi}T\sum_{k\in\mathbb Z}\delta(\omega-k\Omega)$ となるとき、$\Omega,T$ の関係を求めよ。 ただし、$i$ は虚数単位であり、次の関係式を用いてよい（$c$ は $0$ でない実数）。

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{ik\omega} =2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k),\qquad \delta(c\omega)=\frac1{|c|}\delta(\omega).$$

(b) $x_s(t)=x(t)g(t)$ とし、$X_s(\omega)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega-\omega')G(\omega')d\omega'$ を計算せよ。 (c) 図4.1の $X(\omega)$ は原点中心の滑らかな山形で、その台は $[-\pi/T,\pi/T]$ より広い。$X_s(\omega)$ の概形を図示し、サンプリング定理の観点から説明せよ。

题目描述

求锯齿波、矩形波的傅里叶系数并证明 Parseval 等式；求冲激串的频谱、采样信号的频谱，并对原频谱超出奈奎斯特带宽的情形画出频谱重叠。傅里叶系数按上面的三个积分公式定义；第 2(a) 问允许使用上列冲激串恒等式及 $\delta(c\omega)=\delta(\omega)/|c|$（$c\ne0$ 为实数）。

Kai

1)

a)

奇関数なので $a_0=a_k=0$。部分積分により

$$b_k=\frac2\pi\int_0^\pi x\sin kx\,dx=\boxed{\frac{2(-1)^{k+1}}k}.$$

b)

偶関数で平均値が $0$ なので $a_0=b_k=0$。従って

$$a_k=\frac2\pi\left(\int_0^{\pi/2}\cos kx\,dx-\int_{\pi/2}^\pi\cos kx\,dx\right) =\boxed{\frac4{\pi k}\sin\frac{k\pi}2}.$$

c)

$1,\cos kx,\sin kx$ は $[-\pi,\pi]$ で互いに直交し、二乗積分はそれぞれ $2\pi,\pi,\pi$ である。第 $N$ 部分和 $S_N$ に対し

$$\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi S_N(x)^2dx=\frac{a_0^2}2+\sum_{k=1}^N(a_k^2+b_k^2).$$

区分的に滑らかな周期関数では $S_N\to f$ が $L^2$ で成り立つので、$N\to\infty$ とすれば題意の等式を得る。

2)

a)

$$G(\omega)=\sum_{k\in\mathbb Z}e^{-ikT\omega} =2\pi\sum_{k\in\mathbb Z}\delta(T\omega-2\pi k) =\frac{2\pi}T\sum_{k\in\mathbb Z}\delta\left(\omega-\frac{2\pi k}T\right).$$

従って $\boxed{\Omega=2\pi/T}$。

b)

デルタ関数の抽出性により

$$\boxed{X_s(\omega)=\frac1T\sum_{k\in\mathbb Z}X\left(\omega-\frac{2\pi k}T\right)}.$$

c)

$X/T$ の複製を間隔 $2\pi/T$ で並べ、重なる部分では加算する。

各山の幅が $2\pi/T$ より広いため隣接する複製が重なり、エイリアシングが起きる。従って、この標本化間隔では一般に元信号を一意に復元できない。帯域上限を $\omega_m$ とすれば、重なりを避けるには $2\pi/T>2\omega_m$ とすればよい。