東京工業大学 情報理工学院 情報工学系 2016年8月実施 午前 1.

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• Matrix-Determinant
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Quadratic-Form

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

1. 次の行列式が $0$ となる $x$ を求めよ。

$$\begin{vmatrix}1&1&0&1\\1&x&1&2\\1&3&2&3\\1&x^2&5&0\end{vmatrix}.$$

2. $A=\begin{pmatrix}2&2\\2&5\end{pmatrix}$ について、(a) 対角化する正規直交行列 $U$、(b) 任意の自然数 $n$ に対する $A^n$ を求めよ。
3. 点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ と、この点を通らない直線 $\frac{x-x_1}{u}=\frac{y-y_1}{v}=\frac{z-z_1}{w}$ を含む平面を考える。(a) $P_0$ を含む任意の平面の方程式、(b) それが $(x_1,y_1,z_1)$ を含む条件、(c) 直線と平行になる条件を書き、(d) 求める平面が次式で表されることを示せ。

$$\begin{vmatrix}x-x_0&y-y_0&z-z_0\\x_1-x_0&y_1-y_0&z_1-z_0\\u&v&w\end{vmatrix}=0.$$

4. $H=(h_{ij})$ が実対称行列のとき、$Q(x)=\sum_{i,j=1}^nh_{ij}x_ix_j$ の $\sum_i x_i^2=1$ の下での最大値が、$H$ の最大固有値に等しいことを証明せよ。

题目描述

求含参数行列式的零点、对称矩阵的正交对角化及幂；依次建立经过一点且包含给定直线的平面条件与行列式方程；证明单位球面上二次型的最大值等于最大特征值。

Kai

1)

行列式を展開すると $-12(x-2)$ である。したがって $\boxed{x=2}$。

2)

固有値は $1,6$、対応する単位固有ベクトルはそれぞれ $\frac1{\sqrt5}(2,-1)^T$, $\frac1{\sqrt5}(1,2)^T$ である。よって

$$U=\frac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix},\qquad U^TAU=\operatorname{diag}(1,6).$$

したがって

$$\boxed{A^n=\frac15\begin{pmatrix}4+6^n&2(6^n-1)\\2(6^n-1)&1+4\cdot6^n\end{pmatrix}}.$$

3)

(a) 法線ベクトル $(a,b,c)\ne(0,0,0)$ を用いて

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.$$

(b) $a(x_1-x_0)+b(y_1-y_0)+c(z_1-z_0)=0$。

(c) $au+bv+cw=0$。

(d) $P_1-P_0$ と $(u,v,w)$ は、$P_0$ が直線上にないので線形独立である。求める平面の法線は両者の外積であり、点 $(x,y,z)$ が平面上にある条件はその外積と $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ の内積が $0$ となることである。これは問題の行列式に等しい。

4)

実対称行列の直交対角化 $H=U\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)U^T$ を用い、$y=U^Tx$ とおく。$\sum_i y_i^2=1$ であるから

$$Q(x)=\sum_i\lambda_i y_i^2\le\lambda_{\max}\sum_i y_i^2=\lambda_{\max}.$$

最大固有値に対応する単位固有ベクトルを $x$ に取れば等号が成立する。