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法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2025年8月実施 概率统计

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

確率変数 X,Y,ZX, Y, Z について、 0<Var[X]<∞0 < Var[X] < \infty , 0<Var[Y]<∞0 < Var[Y] < \infty , 0<Var[Z]<∞0 < Var[Z] < \infty である. このとき, X+YX+Y と X−ZX-Z の共分散を XX の分散, XX と ZZ の共分散, XX と YY の共分散, 及び YY と ZZ の共分散を用いて表せ.

题目描述​

随机变量 X,Y,ZX,Y,Z 满足

0<Var⁡[X]<∞,0<Var⁡[Y]<∞,0<Var⁡[Z]<∞.0<\operatorname{Var}[X]<\infty,\qquad 0<\operatorname{Var}[Y]<\infty,\qquad 0<\operatorname{Var}[Z]<\infty.

用 XX 的方差、XX 与 ZZ 的协方差、XX 与 YY 的协方差，以及 YY 与 ZZ 的协方差，表示 X+YX+Y 与 X−ZX-Z 的协方差。

Kai​

まず、共分散の定義を確認します。 Cov(A,B)=E[(A−E[A])(B−E[B])]=E[AB]−E[A]E[B]Cov(A, B) = E[(A - E[A])(B - E[B])] = E[AB] - E[A]E[B] また、 Var[X]=Cov(X,X)Var[X] = Cov(X, X) です。 Cov(X+Y,X−Z)=E[(X+Y)(X−Z)]−E[X+Y]E[X−Z]Cov(X+Y, X-Z) = E[(X+Y)(X-Z)] - E[X+Y]E[X-Z] =E[X2−XZ+YX−YZ]−(E[X]+E[Y])(E[X]−E[Z])= E[X^2 - XZ + YX - YZ] - (E[X]+E[Y])(E[X]-E[Z]) =E[X2]−E[XZ]+E[YX]−E[YZ]−(E[X]2−E[X]E[Z]+E[Y]E[X]−E[Y]E[Z])= E[X^2] - E[XZ] + E[YX] - E[YZ] - (E[X]^2 - E[X]E[Z] + E[Y]E[X] - E[Y]E[Z]) =E[X2]−E[XZ]+E[XY]−E[YZ]−E[X]2+E[X]E[Z]−E[Y]E[X]+E[Y]E[Z]= E[X^2] - E[XZ] + E[XY] - E[YZ] - E[X]^2 + E[X]E[Z] - E[Y]E[X] + E[Y]E[Z] =(E[X2]−E[X]2)−(E[XZ]−E[X]E[Z])+(E[XY]−E[X]E[Y])−(E[YZ]−E[Y]E[Z])= (E[X^2] - E[X]^2) - (E[XZ] - E[X]E[Z]) + (E[XY] - E[X]E[Y]) - (E[YZ] - E[Y]E[Z]) =Var[X]−Cov(X,Z)+Cov(X,Y)−Cov(Y,Z)= Var[X] - Cov(X, Z) + Cov(X, Y) - Cov(Y, Z)

したがって、 Cov(X+Y,X−Z)=Var[X]+Cov(X,Y)−Cov(X,Z)−Cov(Y,Z)Cov(X+Y, X-Z) = Var[X] + Cov(X, Y) - Cov(X, Z) - Cov(Y, Z)

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