法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2025年8月実施 概率统计

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• Hosei-University
• Conditional-Probability
• Cumulative-Distribution-Function-and-Probability-Density-Function

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数 $f_X(x)$ が

$$f_X(x) = \frac{1}{8}(|x| + 1) \quad (|x| < 2)$$

で与えられている. 以下の問いに答えよ. (1) 累積分布関数を求めよ. (2) $Pr\{-\frac{3}{2} < X < 1 | X > -1\}$ の値 (既約分数)を求めよ.

题目描述

连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为

$$f_X(x)=\frac18(|x|+1)\qquad(|x|<2),$$

在 $|x|\ge2$ 时为 $0$。回答下列问题。

（1）求 $X$ 的累积分布函数。

（2）求条件概率

$$\Pr\left\{-\frac32<X<1\,\middle|\,X>-1\right\},$$

并将结果写成最简分数。

Kai

(1) 累積分布関数を $F_X(x)$ とすると、

$x \leq -2$ のとき、 $F_X(x) = 0$

$-2 < x < 2$ のとき、

$$F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) dt = \int_{-2}^x \frac{1}{8}(|t| + 1) dt$$

$-2 \leq x < 0$ のとき、

$$\begin{aligned} F_X(x) &= \int_{-2}^x \frac{1}{8}(-t + 1) dt \\ &= \frac{1}{8} \left[ -\frac{t^2}{2} + t \right]_{-2}^x \\ &= \frac{1}{8} \left[ -\frac{x^2}{2} + x - ( -\frac{4}{2} - 2 ) \right] \\ &= \frac{1}{8} \left[ -\frac{x^2}{2} + x + 4 \right] \\ &= -\frac{x^2}{16} + \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \end{aligned}$$

$0 \leq x < 2$ のとき、

$$\begin{aligned} F_X(x) &= \int_{-2}^0 \frac{1}{8}(-t + 1) dt + \int_0^x \frac{1}{8}(t + 1) dt \\ &= \frac{1}{2} + \int_0^x \frac{1}{8}(t + 1) dt \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \left[ \frac{t^2}{2} + t \right]_0^x \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \\ &= \frac{x^2}{16} + \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \end{aligned}$$

$x \geq 2$ のとき、 $F_X(x) = 1$

したがって,

$$F_X(x) = \begin{cases} 0 & (x \leq -2) \\ -\frac{x^2}{16} + \frac{x}{8} + \frac{1}{2} & (-2 < x < 0) \\ \frac{x^2}{16} + \frac{x}{8} + \frac{1}{2} & (0 \leq x < 2) \\ 1 & (x \geq 2) \end{cases}$$

(2)

$$\begin{aligned} Pr\{-\frac{3}{2} < X < 1 | X > -1\} &= \frac{Pr\{-\frac{3}{2} < X < 1, X > -1\}}{Pr\{X > -1\}} \\ &= \frac{Pr\{-1 < X < 1\}}{Pr\{X > -1\}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} Pr\{-1 < X < 1\} &= F_X(1) - F_X(-1) \\ &= (\frac{1}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2}) - ( -\frac{1}{16} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2}) \\ &= \frac{2}{16} + \frac{2}{8} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} Pr\{X > -1\} &= 1 - Pr\{X \leq -1\} = 1 - F_X(-1) \\ &= 1 - ( -\frac{1}{16} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2}) \\ &= 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} = \frac{16 + 1 + 2 - 8}{16} = \frac{11}{16} \end{aligned}$$

したがって、

$Pr\{-\frac{3}{2} < X < 1 | X > -1\} = \frac{3/8}{11/16} = \frac{3}{8} \times \frac{16}{11} = \frac{6}{11}$