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法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2025年8月実施 概率统计

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

離散型確率変数Xの値を1回観測し, その結果に基づいて仮説検定を行う. 帰無仮説 (H0)(H_0) の下では p0=14p_0 = \frac{1}{4} , 対立仮説 (H1)(H_1) の下では p1=34p_1 = \frac{3}{4} であり, このときの確率関数 fi(x)(i=0,1)f_i(x) (i = 0,1) は

fi(x)=(nx)pix(1−pi)n−x(x=0,1,...,n)f_i(x) = \binom{n}{x} p_i^x (1-p_i)^{n-x} \quad (x = 0, 1, ..., n)

で与えられる. n=5n = 5 として, 以下の問いに答えよ.

(1) 観測を行った結果, X=5X = 5 のときに帰無仮説を棄却するという検定方式を考えたとき, 第一種の誤りの確率(既約分数)を求めよ.

(2) 観測を行った結果, X≥4X \geq 4 のときに帰無仮説を棄却するという検定方式を考えたとき, 検出力(既約分数)を求めよ.

(3) 有意水準5%で仮説検定を行うものとして, 検出力の大きい検定方式を選びたい. このとき, (1)と(2)の検定のどちらが適切と言えるか, 根拠と共に結論を示せ.

题目描述​

对离散型随机变量 XX 进行一次观测，并根据结果作假设检验。在原假设 H0H_0 下 p0=14p_0=\frac14，在备择假设 H1H_1 下 p1=34p_1=\frac34；相应的概率质量函数为

fi(x)=(nx)pix(1−pi)n−x(x=0,1,…,n; i=0,1).f_i(x)=\binom nxp_i^x(1-p_i)^{n-x} \qquad(x=0,1,\dots,n;\ i=0,1).

令 n=5n=5，回答下列问题。

（1）考虑“观测结果为 X=5X=5 时拒绝原假设”的检验，求第一类错误概率，并写成最简分数。

（2）考虑“观测结果满足 X≥4X\ge4 时拒绝原假设”的检验，求该检验的功效，并写成最简分数。

（3）在显著性水平 5%5\% 下进行检验，并希望选择功效较大的检验。判断（1）与（2）中的哪种检验更合适，并给出依据和结论。

Kai​

(1) 第一種の誤りとは, 帰無仮説 H0H_0 が正しいときに, H0H_0 を棄却する誤りである. X=5X=5 のときに帰無仮説を棄却する場合, H0H_0 の下で X=5X=5 となる確率を求める.

P(X=5∣H0)=(55)p05(1−p0)5−5=(55)(14)5(34)0=1⋅(14)5⋅1=11024P(X=5 | H_0) = \binom{5}{5} p_0^5 (1-p_0)^{5-5} = \binom{5}{5} (\frac{1}{4})^5 (\frac{3}{4})^0 = 1 \cdot (\frac{1}{4})^5 \cdot 1 = \frac{1}{1024}

(2) 検出力とは, 対立仮説 H1H_1 が正しいときに, H0H_0 を棄却する確率である. X≥4X \geq 4 のときに帰無仮説を棄却する場合, H1H_1 の下で X≥4X \geq 4 となる確率を求める.

P(X≥4∣H1)=P(X=4∣H1)+P(X=5∣H1)P(X \geq 4 | H_1) = P(X=4 | H_1) + P(X=5 | H_1)
=(54)p14(1−p1)5−4+(55)p15(1−p1)5−5= \binom{5}{4} p_1^4 (1-p_1)^{5-4} + \binom{5}{5} p_1^5 (1-p_1)^{5-5}
=(54)(34)4(14)1+(55)(34)5(14)0= \binom{5}{4} (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 + \binom{5}{5} (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0
=5⋅811024+1⋅2431024=4051024+2431024=6481024=81128= 5 \cdot \frac{81}{1024} + 1 \cdot \frac{243}{1024} = \frac{405}{1024} + \frac{243}{1024} = \frac{648}{1024} = \frac{81}{128}

(3) 有意水準5%で仮説検定を行う場合, 第一種の誤りの確率が5%以下である必要がある. (1)の検定における第一種の誤りの確率は 11024≈0.000977<0.05\frac{1}{1024} \approx 0.000977 < 0.05 である. (2)の検定における第一種の誤りの確率は P(X≥4∣H0)=(54)(14)4(34)1+(55)(14)5(34)0=5⋅31024+11024=161024=164≈0.0156<0.05P(X \geq 4 | H_0) = \binom{5}{4} (\frac{1}{4})^4 (\frac{3}{4})^1 + \binom{5}{5} (\frac{1}{4})^5 (\frac{3}{4})^0 = 5 \cdot \frac{3}{1024} + \frac{1}{1024} = \frac{16}{1024} = \frac{1}{64} \approx 0.0156 < 0.05 である.

(1)の検出力は P(X=5∣H1)=(34)5=2431024≈0.2373P(X=5 | H_1) = (\frac{3}{4})^5 = \frac{243}{1024} \approx 0.2373 (2)の検出力は 81128≈0.6328\frac{81}{128} \approx 0.6328 したがって、検出力が大きいのは(2)の検定である.

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