法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2025年8月実施 概率统计

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• Covariance
• Expectation-and-Variance

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

[2] 独立でない二つの事象 $A, B$ に対し、

$$X = \begin{cases} 1 & \text{(事象Aが生起する)} \\ 0 & \text{(事象Aが生起しない)} \end{cases}, \quad Y = \begin{cases} 1 & \text{(事象Bが生起する)} \\ 0 & \text{(事象Bが生起しない)} \end{cases}$$

なる確率変数 $X, Y$ を考える. これら二つの確率変数に対する共分散 $\text{Cov}(X, Y)$ が正である、すなわち、 $\text{Cov}(X, Y) > 0$ を満たすとき, $\Pr(Y = 1|X = 1)$ と $\Pr(Y = 1)$ の大小関係を示せ.

题目描述

【2】对两个不独立的事件 $A,B$，定义指示随机变量

$$X= \begin{cases} 1,&\text{事件 $A$ 发生},\\ 0,&\text{事件 $A$ 不发生}, \end{cases} \qquad Y= \begin{cases} 1,&\text{事件 $B$ 发生},\\ 0,&\text{事件 $B$ 不发生}. \end{cases}$$

若这两个随机变量满足

$$\operatorname{Cov}(X,Y)>0,$$

比较 $\Pr(Y=1\mid X=1)$ 与 $\Pr(Y=1)$ 的大小。

Kai

$\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] > 0$ . Since $X, Y$ can only be 0 or 1, we have $E[X] = P(X=1)$ and $E[Y] = P(Y=1)$ . Also, $E[XY] = P(X=1, Y=1)$ . Thus, $P(X=1, Y=1) > P(X=1) P(Y=1)$ .

We want to compare $P(Y=1 | X=1)$ and $P(Y=1)$ . By definition, $P(Y=1 | X=1) = \frac{P(Y=1, X=1)}{P(X=1)}$ . So we have $\frac{P(Y=1, X=1)}{P(X=1)} > P(Y=1)$ .

Therefore, $\Pr(Y = 1|X = 1) > \Pr(Y = 1)$ .