法政大学理工学研究科システム理工学専攻経営システム系 2025年8月実施概率统计

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思齐塾, 祭音Myyura

確率変数Xに対し、 $E[X^k] \equiv \mu_k < \infty (k = 1,2,\cdots)$ という条件の下で $E[(X-c)^2]$ を考える。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $E[(X-c)^2]$ を最小とする定数 $c$ を適切なモーメントを用いて表せ。

(2) (1)の結果を用いて $E[(X-c)^2]$ の最小値を適切なモーメントを用いて表せ。

对随机变量 $X$ ，假设

E[X^k]\equiv\mu_k<\infty \qquad(k=1,2,\dots),

并考虑 $E[(X-c)^2]$ 。回答下列问题。

（1）用适当的矩表示使 $E[(X-c)^2]$ 最小的常数 $c$ 。

（2）利用（1）的结果，用适当的矩表示 $E[(X-c)^2]$ 的最小值。

(1) To minimize $E[(X-c)^2]$ , we take the derivative with respect to $c$ and set it to zero.

\frac{d}{dc} E[(X-c)^2] = E[\frac{d}{dc}(X-c)^2] = E[2(X-c)(-1)] = -2E[X-c] = -2(E[X] - c)

Setting the derivative to zero:

-2(E[X] - c) = 0

E[X] - c = 0

c = E[X]

Since $E[X] = \mu_1$ , we have $c = \mu_1$ .

(2) Now we substitute $c = E[X] = \mu_1$ into $E[(X-c)^2]$ to find the minimum value:

E[(X - E[X])^2] = E[(X - \mu_1)^2] = E[X^2 - 2X\mu_1 + \mu_1^2] = E[X^2] - 2\mu_1E[X] + \mu_1^2

Since $E[X^2] = \mu_2$ and $E[X] = \mu_1$ , we have:

E[(X - \mu_1)^2] = \mu_2 - 2\mu_1^2 + \mu_1^2 = \mu_2 - \mu_1^2

Thus, the minimum value of $E[(X-c)^2]$ is $\mu_2 - \mu_1^2$ .