法政大学理工学研究科システム理工学専攻経営システム系 2025年8月実施线性代数

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思齐塾, 祭音Myyura

行列 $A$ を次で定める。

A = \begin{bmatrix} 4 & 4 & -1 \\ -6 & -5 & 0 \\ -6 & -4 & -1 \end{bmatrix}

(1) $A$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ を求めよ。ただし $\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3$ とする。

(2) 固有値 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ に対する固有ベクトル $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3$ をそれぞれ一つ求めよ。

(3) 行列 $A$ を対角化せよ。すなわち $A$ を

A = PDP^{-1}

という形に表すときの $P$ と $D$ を求めよ。ここで $D$ は対角行列、 $P$ は正則行列とする。

(4) 上の $P$ に対して $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求めよ。

(5) $A^n \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ を求めよ。

定义矩阵

A= \begin{bmatrix} 4&4&-1\\ -6&-5&0\\ -6&-4&-1 \end{bmatrix}.

（1）求 $A$ 的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ ，其中规定 $\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3$ 。

（2）对特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ ，分别求一个对应的特征向量 $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3$ 。

（3）将矩阵 $A$ 对角化。也就是说，在

A=PDP^{-1}

中求 $P$ 与 $D$ ，其中 $D$ 为对角矩阵， $P$ 为可逆矩阵。

（4）对上一问求得的 $P$ ，求其逆矩阵 $P^{-1}$ 。

（5）求

A^n \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}.

(1) 固有値を求める。

\det(\lambda I-A) =(\lambda+2)(\lambda+1)(\lambda-1)

したがって，大小関係を考慮すると

\boxed{\lambda_1=-2,\qquad \lambda_2=-1,\qquad \lambda_3=1}.

(2) 固有ベクトルを求める。

各固有値について $(A-\lambda I)v=0$ を解くと，例えば

\lambda_1=-2:\quad \mathbf v_1=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}, \qquad \lambda_2=-1:\quad \mathbf v_2=\begin{pmatrix}-2\\3\\2\end{pmatrix}, \qquad \lambda_3=1:\quad \mathbf v_3=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}

を取ることができる。

(3)

P = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1\\ 2 & 3 & 1\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

とおけば $A=PDP^{-1}$ である。

(4)

P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

(5)

$P^{-1}(0,1,0)^{\mathsf T}=(0,1,-2)^{\mathsf T}$ なので，

A^n\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2(-1)^n\\ 3(-1)^n-2\\ 2(-1)^n-2 \end{pmatrix}.