法政大学理工学研究科システム理工学専攻経営システム系 2024年8月実施概率统计

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思齐塾, 祭音Myyura

確率変数 $V, W, T$ について, 以下の問いに答えよ.

(1) 確率変数 $U$ が $(0,1)$ 上の一様分布に従うとき, $V = -\ln(U)$ で表される確率変数 $V$ の分布関数を示せ.

(2) 確率変数 $V$ が(1)で求めた確率分布に従うとき, $W = \lambda^{-1}V$ で表される確率変数の確率密度関数を示せ. ただし, $\lambda$ は非負の定数とする.

(3) 確率変数 $S$ が平均 $\mu$ の指数分布に従うとき, $T = 1 - \exp(-\mu^{-1}S)$ で表される確率変数 $T$ の期待値を求めよ.

关于随机变量 $V,W,T$ ，回答下列问题。

（1）设随机变量 $U$ 服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布，且

V=-\ln(U).

求随机变量 $V$ 的分布函数。

（2）设随机变量 $V$ 服从（1）求得的概率分布，并定义

W=\lambda^{-1}V.

求 $W$ 的概率密度函数。原题称 $\lambda$ 为非负常数，但 $\lambda=0$ 时 $\lambda^{-1}V$ 无定义，因此本问有意义的参数范围为 $\lambda>0$ 。

（3）设随机变量 $S$ 服从均值为 $\mu$ 的指数分布，并定义

T=1-\exp(-\mu^{-1}S).

求 $T$ 的期望。

確率変数 $V,W,T$ について，以下に答える．

(1) 確率変数 $U$ が $(0,1)$ 上の一様分布に従い，

V=-\ln U

と定める． $V$ の分布関数を求める．

$u\mapsto v=-\ln u$ は $(0,1)$ から $(0,\infty)$ への単調減少写像である． $v\ge0$ に対し

F_V(v)=P(V\le v) =P(-\ln U\le v) =P\bigl(U\ge e^{-v}\bigr) =1-P\bigl(U<e^{-v}\bigr) =1-e^{-v}.

よって

F_V(v)= \begin{cases} 0, & v<0,\\[2pt] 1-e^{-v}, & v\ge0. \end{cases}

従って $V$ は平均 $1$ の指数分布に従う．

(2) $V$ が (1) で求めた分布（平均 $1$ の指数分布）に従い，

W=\lambda^{-1}V\qquad (\lambda>0)

とする． $W$ の確率密度関数を求める．なお、問題文では $\lambda$ は非負とされているが、 $\lambda=0$ では $\lambda^{-1}V$ が定義されないため、以下では定義可能な $\lambda>0$ の場合を考える。

$v=\lambda w$ より

f_W(w) =f_V(\lambda w)\,\left|\frac{dv}{dw}\right| =e^{-\lambda w}\cdot\lambda = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda w}, & w\ge0,\\[2pt] 0, & \text{otherwise}. \end{cases}

したがって $W$ は平均 $1/\lambda$ の指数分布に従う．

(3) 確率変数 $S$ が平均 $\mu$ の指数分布に従い，

T=1-\exp(-\mu^{-1}S)

と定める． $T$ の期待値を求める．

$S$ の密度は

f_S(s)=\frac1{\mu}e^{-s/\mu}\qquad (s\ge0)

であるから

E[T] =E\bigl[1-e^{-S/\mu}\bigr] =1-E\bigl[e^{-S/\mu}\bigr].

ここで

E\bigl[e^{-S/\mu}\bigr] =\int_{0}^{\infty} e^{-s/\mu}\cdot\frac1{\mu}e^{-s/\mu}\,ds =\frac1{\mu}\int_{0}^{\infty} e^{-2s/\mu}\,ds =\frac1{\mu}\cdot\frac{\mu}{2} =\frac12.

したがって

E[T]=1-\frac12=\boxed{\frac12}.

（ $\mu$ の値によらず一定である．）