法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2024年8月実施 概率统计

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

独立でない三つの事象 $A,B,C$ について、以下の問いに答えよ。

(1) $\Pr\{A \cap B\} \geq 1 - (\Pr\{A^c\} + \Pr\{B^c\})$ が成り立つことを示せ。

(2) $A^c \cap B^c \neq \emptyset$ のとき、(1)の結果を利用して、

$$\Pr\{A \cap B \cap C\} > 1 - (\Pr\{A^c\} + \Pr\{B^c\} + \Pr\{C^c\})$$

が成り立つことを示せ。

题目描述

对三个不要求相互独立的事件 $A,B,C$，回答下列问题。

（1）证明

$$\Pr\{A\cap B\} \ge 1-\bigl(\Pr\{A^c\}+\Pr\{B^c\}\bigr).$$

（2）原题给出的条件为 $A^c\cap B^c\ne\varnothing$，并要求利用（1）证明

$$\Pr\{A\cap B\cap C\} > 1-\bigl(\Pr\{A^c\}+\Pr\{B^c\}+\Pr\{C^c\}\bigr).$$

需要明确的是，集合非空本身不能保证其概率为正；上述严格不等式可由更强的条件

$$\Pr(A^c\cap B^c)>0$$

推出。若只保留原题的非空条件，则一般只能保证对应的非严格不等式，不能完成严格不等式的证明。

Kai

(1) We know that

$$\Pr\{A \cup B\} = \Pr\{A\} + \Pr\{B\} - \Pr\{A \cap B\}$$

Since $\Pr\{A \cup B\} \leq 1$ , we have

$$\Pr\{A\} + \Pr\{B\} - \Pr\{A \cap B\} \leq 1$$

$$\Pr\{A \cap B\} \geq \Pr\{A\} + \Pr\{B\} - 1$$

Also, we have $\Pr\{A\} = 1 - \Pr\{A^c\}$ and $\Pr\{B\} = 1 - \Pr\{B^c\}$ , so

$$\Pr\{A \cap B\} \geq (1 - \Pr\{A^c\}) + (1 - \Pr\{B^c\}) - 1$$

$$\Pr\{A \cap B\} \geq 1 - \Pr\{A^c\} - \Pr\{B^c\}$$

(2) Let $D = A \cap B$ . Then we want to show that

$$\Pr\{D \cap C\} > 1 - (\Pr\{A^c\} + \Pr\{B^c\} + \Pr\{C^c\})$$

From (1), we have $\Pr\{D \cap C\} \geq 1 - (\Pr\{D^c\} + \Pr\{C^c\})$ . We want to prove that

$$1 - (\Pr\{D^c\} + \Pr\{C^c\}) > 1 - (\Pr\{A^c\} + \Pr\{B^c\} + \Pr\{C^c\})$$

$$\Pr\{A^c\} + \Pr\{B^c\} > \Pr\{D^c\}$$

Since $D = A \cap B$ , we have $D^c = A^c \cup B^c$ . Thus, we want to show that

$$\Pr\{A^c\} + \Pr\{B^c\} > \Pr\{A^c \cup B^c\}$$

We know that $\Pr\{A^c \cup B^c\} = \Pr\{A^c\} + \Pr\{B^c\} - \Pr\{A^c \cap B^c\}$ . More directly, applying (1) to $D=A\cap B$ and $C$ gives

$$\begin{aligned} \Pr(A\cap B\cap C) &\ge 1-\Pr(D^c)-\Pr(C^c)\\ &=1-\Pr(A^c)-\Pr(B^c)-\Pr(C^c) +\Pr(A^c\cap B^c). \end{aligned}$$

したがって、求める狭義不等式は

$$\Pr(A^c\cap B^c)>0$$

というより強い条件の下では確かに成り立つ。しかし、集合が空でないことだけから、その確率が正であるとは限らない。例えば、$[0,1]$ 上の一様分布を考え、

$$A^c=[0,1/4],\qquad B^c=(1/4,1/2]\cup\{0\},\qquad C^c=(1/2,3/4]$$

とすると、$A^c\cap B^c=\{0\}\ne\varnothing$ だが、その確率は $0$ である。各事象の確率は $3/4$、任意の二事象の共通部分の確率は $1/2\ne(3/4)^2$ なので、これらは独立ではない。それでも三事象の共通部分の確率は $1/4$、不等式の右辺も $1-3/4=1/4$ となり、狭義不等式は成り立たない。

よって、原題の条件 $A^c\cap B^c\ne\varnothing$ のままでは一般に非狭義不等式しか保証できない。狭義不等式を結論するには、条件を $\Pr(A^c\cap B^c)>0$ に置き換える必要がある。