法政大学理工学研究科システム理工学専攻経営システム系 2024年8月実施概率统计

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思齐塾, 祭音Myyura

[3] 確率密度関数 $f_X(x)$ が

f_X(x) = \beta x^{\beta-1} \quad (0 < x < 1)

で与えられている確率分布からの無作為標本を $(X_1, \dots, X_n)$ とする。ただし、 $0 < \beta < \infty$ である。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $E[\ln(X)]$ を $\beta$ を用いて表せ。

(2) $\theta = \frac{1}{\beta}$ としたとき、 $\theta$ の最尤推定量 $\hat{\theta}$ を示せ。

(3) $\hat{\theta}$ が $\theta$ の不偏推定量となるか否か示せ。

【3】设 $(X_1,\dots,X_n)$ 是来自下列概率分布的随机样本：

f_X(x)=\beta x^{\beta-1}\qquad(0<x<1),

其中 $0<\beta<\infty$ 。回答下列问题。

（1）用 $\beta$ 表示 $E[\ln(X)]$ 。

（2）令

\theta=\frac1\beta.

求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ 。

（3）判断并说明 $\hat{\theta}$ 是否为 $\theta$ 的无偏估计量。

(1)

E[\ln(X)] = \int_0^1 \ln(x) f_X(x) dx = \int_0^1 \ln(x) \beta x^{\beta - 1} dx

令 $u = \ln(x)$ , $dv = \beta x^{\beta - 1} dx$ , 则 $du = \frac{1}{x} dx$ , $v = x^{\beta}$ . 所以，

E[\ln(X)] = [\ln(x) x^{\beta}]_0^1 - \int_0^1 x^{\beta} \frac{1}{x} dx = [\ln(x) x^{\beta}]_0^1 - \int_0^1 x^{\beta - 1} dx

= (\ln(1) \cdot 1^{\beta} - \lim_{x \to 0} \ln(x) x^{\beta}) - [\frac{x^{\beta}}{\beta}]_0^1

= 0 - 0 - (\frac{1}{\beta} - 0) = -\frac{1}{\beta}

因此， $E[\ln(X)] = -\frac{1}{\beta}$ .

(2) 似然函数为:

L(\beta) = \prod_{i=1}^n f_X(x_i) = \prod_{i=1}^n \beta x_i^{\beta - 1} = \beta^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{\beta - 1}

取对数:

\ln L(\beta) = n \ln(\beta) + (\beta - 1) \sum_{i=1}^n \ln(x_i)

对 $\beta$ 求导数:

\frac{\partial \ln L(\beta)}{\partial \beta} = \frac{n}{\beta} + \sum_{i=1}^n \ln(x_i) = 0

因此，

\frac{n}{\beta} = -\sum_{i=1}^n \ln(x_i) \implies \hat{\beta} = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(x_i)}

因为 $\theta = \frac{1}{\beta}$ , 所以

\hat{\theta} = \frac{1}{\hat{\beta}} = -\frac{\sum_{i=1}^n \ln(x_i)}{n} = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln(x_i)

(3)

E[\hat{\theta}] = E[-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln(X_i)] = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[\ln(X_i)] = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (-\frac{1}{\beta}) = \frac{1}{n} \frac{n}{\beta} = \frac{1}{\beta} = \theta

所以 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的不偏推定量.