法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2024年8月実施 微积分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

(1) $xy$ 平面上の閉領域 $D_1$ を, $D_1 = \{(x,y) | 0 \leq y \leq 2x \leq 2\}$ とする. (a) 閉領域 $D_1$ を $xy$ 平面上に図示せよ. (b) 2重積分

$$I_1 = \iint_{D_1} (x+y) dxdy$$

の値を求めよ.

(2) $xy$ 平面上の閉領域 $D_2$ を, $D_2 = \{(x,y) | x \geq 0, y \geq 0, 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4\}$ とする. 2重積分

$$I_2 = \iint_{D_2} e^{x^2+y^2} dxdy$$

の値を求めよ.

题目描述

（1）在 $xy$ 平面上定义闭区域

$$D_1=\{(x,y)\mid 0\le y\le2x\le2\}.$$

（a）在 $xy$ 平面上画出闭区域 $D_1$。

（b）求二重积分

$$I_1=\iint_{D_1}(x+y)\,dx\,dy$$

的值。

（2）在 $xy$ 平面上定义闭区域

$$D_2=\{(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ 1\le x^2+y^2\le4\}.$$

求二重积分

$$I_2=\iint_{D_2}e^{x^2+y^2}\,dx\,dy$$

的值。

Kai

(1) 平面上の閉領域

$$D_1=\{(x,y)\mid 0\le y\le 2x\le 2\}$$

を考える．

(a) 条件 $0\le y\le 2x\le 2$ は

$$0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 2x$$

と書き換えられる．したがって $D_1$ は直線 $y=0$ , $y=2x$ , $x=1$ で囲まれる三角形領域 （頂点 $(0,0),(1,0),(1,2)$ ）である．

(b) 二重積分

$$I_1=\iint_{D_1}(x+y)\,dxdy$$

を求める．(a) の結果より

$$I_1=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2x}(x+y)\,dy\,dx.$$

まず内側を積分して

$$\int_{0}^{2x}(x+y)\,dy =\left[xy+\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2x} =2x^{2}+2x^{2}=4x^{2}.$$

したがって

$$I_1=\int_{0}^{1}4x^{2}\,dx =\left[\frac{4}{3}x^{3}\right]_{0}^{1} =\frac{4}{3}.$$

よって

$$\boxed{I_1=\dfrac{4}{3}}.$$

(2) 平面上の閉領域

$$D_2=\{(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ 1\le x^{2}+y^{2}\le 4\}$$

を考える．これは第1象限における半径 $1$ と $2$ の円環領域である． 二重積分

$$I_2=\iint_{D_2} e^{x^{2}+y^{2}}\,dxdy$$

を極座標を用いて計算する．

極座標変換

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$$

を用いると， $D_2$ は

$$1\le r\le 2,\quad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$$

に対応し，ヤコビアンは $r$ であるから

$$I_2=\int_{0}^{\pi/2}\int_{1}^{2} e^{r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.$$

内側の積分は置換 $u=r^{2}$ （ $du=2r\,dr$ ）により

$$\int_{1}^{2} e^{r^{2}}\,r\,dr =\frac12\left[e^{r^{2}}\right]_{1}^{2} =\frac12\left(e^{4}-e\right).$$

したがって

$$I_2=\int_{0}^{\pi/2}\frac12\left(e^{4}-e\right)\,d\theta =\frac12\left(e^{4}-e\right)\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4}\left(e^{4}-e\right).$$

よって

$$\boxed{I_2=\dfrac{\pi}{4}\bigl(e^{4}-e\bigr)}.$$