法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2024年8月実施 微积分

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• Hosei-University
• Multivariable-Differentiation
• Differentiation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

(1) $f(x, y) = \cos(x^2 + xy - y^2)$ とする。偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial y}$ , $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$ , $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ を求めよ。 (2) $g(x, y) = x^y$ とする。偏導関数 $\frac{\partial g}{\partial x}$ , $\frac{\partial g}{\partial y}$ を求めよ。

题目描述

（1）设

$$f(x,y)=\cos(x^2+xy-y^2).$$

求偏导数

$$\frac{\partial f}{\partial y},\qquad \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y},\qquad \frac{\partial^2f}{\partial y^2}.$$

（2）设

$$g(x,y)=x^y.$$

求偏导数 $\dfrac{\partial g}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial g}{\partial y}$。按实值函数通常的可微定义，本问取 $x>0$，从而可写成 $x^y=e^{y\ln x}$。

Kai

(1) 関数

$$f(x,y)=\cos(x^{2}+xy-y^{2})$$

について，まず

$$u(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}$$

とおくと

$$f(x,y)=\cos u.$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} =-\sin u\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =-(x-2y)\sin(x^{2}+xy-y^{2}).$$

$$\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\left[-(x-2y)\sin u\right] =-\sin u-(x-2y)(2x+y)\cos(x^{2}+xy-y^{2}).$$

$$\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =\frac{\partial}{\partial y}\left[-(x-2y)\sin u\right] =2\sin(x^{2}+xy-y^{2})-(x-2y)^{2}\cos(x^{2}+xy-y^{2}).$$

(2) 関数

$$g(x,y)=x^{y}\quad (x>0)$$

について， $g(x,y)=e^{y\ln x}$ と書けるから

$$\frac{\partial g}{\partial x} =x^{y}\cdot\frac{y}{x} = y\,x^{\,y-1},$$

$$\frac{\partial g}{\partial y} =x^{y}\ln x.$$