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法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2024年8月実施 线性代数

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

行列 AA を A=[7−5153−19−11−1]A = \begin{bmatrix} 7 & -5 & 15 \\ 3 & -1 & 9 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} とする。

(1) x=[−5−31]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -5 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix} とする。積 AxA\mathbf{x} を求めよ。

(2) 3 次単位行列を E3E_3 で表す。連立 1 次方程式 (A−2E3)y=0(A - 2E_3)\mathbf{y} = \mathbf{0} を解け。ここで, y\mathbf{y} は 3 次元変数ベクトルである。

(3) 行列 AA が対角化可能であるか論じよ。対角化可能であるときは, AA を対角化する正則行列 PP のひとつと，その PP により AA を対角化して得られる対角行列 DD を記せ。

题目描述​

给定矩阵

A=[7−5153−19−11−1].A= \begin{bmatrix} 7&-5&15\\ 3&-1&9\\ -1&1&-1 \end{bmatrix}.

（1）令

x=[−5−31].\mathbf{x}= \begin{bmatrix} -5\\-3\\1 \end{bmatrix}.

求矩阵与向量的乘积 AxA\mathbf{x}。

（2）用 E3E_3 表示三阶单位矩阵。解齐次线性方程组

(A−2E3)y=0,(A-2E_3)\mathbf{y}=\mathbf{0},

其中 y\mathbf{y} 是三维变量向量。

（3）讨论矩阵 AA 是否可对角化。若可对角化，给出一个使 AA 对角化的可逆矩阵 PP，以及由该 PP 得到的对角矩阵 DD。

Kai​

(1) 積 AxAx を求めよ．

Ax=(7−5153−19−11−1)(−5−31)=(−5−31)=x.Ax= \begin{pmatrix} 7 & -5 & 15\\ 3 & -1 & 9\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5\\ -3\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5\\ -3\\ 1 \end{pmatrix} =x.

したがって， Ax=xAx=x であり， xx は固有値 11 に対応する固有ベクトルである．

(2) 3 次単位行列を E3E_3 とし，連立一次方程式 (A−2E3)y=0(A-2E_3)y=0 を解け．

E3=(100010001),A−2E3=(5−5153−39−11−3).E_3= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A-2E_3= \begin{pmatrix} 5 & -5 & 15\\ 3 & -3 & 9\\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.

(A−2E3)y=0(A-2E_3)y=0 は

{5y1−5y2+15y3=0,3y1−3y2+9y3=0,−y1+y2−3y3=0\begin{cases} 5y_1-5y_2+15y_3=0,\\ 3y_1-3y_2+9y_3=0,\\ -y_1+y_2-3y_3=0 \end{cases}

に等しく，いずれも

−y1+y2−3y3=0⇔y1=y2−3y3-y_1+y_2-3y_3=0 \quad\Leftrightarrow\quad y_1=y_2-3y_3

を表している．

よって

y2=s,y3=t(s,t∈R)y_2=s,\quad y_3=t \quad (s,t\in\mathbb{R})

とおけば

y1=s−3t,y_1=s-3t,

従って解は

y=(y1y2y3)=(s−3tst)=s(110)+t(−301).y= \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s-3t\\ s\\ t \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}.

すなわち，固有値 22 に対応する固有ベクトルとして

(110),(−301)\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}

を取ることができる．

(3) 行列 AA が対角化可能であるかを論じよ．対角化可能なら， AA を対角化する正則行列 PP の一つと，その PP により AA を対角化して得られる対角行列 DD を記せ．

固有値は

λ=1(固有ベクトル x=(−5,−3,1)T),λ=2(固有ベクトル (1,1,0)T, (−3,0,1)T)\lambda=1 \quad(\text{固有ベクトル }x=(-5,-3,1)^T), \qquad \lambda=2 \quad(\text{固有ベクトル }(1,1,0)^T,\,(-3,0,1)^T)

であり，3 つの線形独立な固有ベクトルをもつので， AA は対角化可能である．

例えば，これら 3 本の固有ベクトルを列に並べて

P=(−51−3−310101)P= \begin{pmatrix} -5 & 1 & -3\\ -3 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

とおくと，

P−1AP=(100020002)=:D.P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} =:D.

したがって，一つの対角化は

P=(−51−3−310101),D=(100020002)\boxed{ P= \begin{pmatrix} -5 & 1 & -3\\ -3 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad D= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} }

で与えられる．

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