法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2023年8月実施 概率统计

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

平均1の指数分布に従う確率変数 $S$ を用いて表される確率変数 $X = \lambda^{-1}S + \gamma$ , 及びこの確率変数 $X$ と独立で同一の分布に従う確率変数 $W$ を用いて表される確率変数 $Y = W-c$ を考える。 $\lambda (>0), \gamma, c$ を定数として、以下の問いに答えよ。

(1) $X$ の確率密度関数を示せ。

(2) $X+Y$ の確率密度関数を示せ。

(3) $E[X+Y]$ を $\gamma, \lambda, c$ を用いて表せ。

题目描述

设随机变量 $S$ 服从均值为 $1$ 的指数分布，并定义

$$X=\lambda^{-1}S+\gamma.$$

另取与 $X$ 相互独立且同分布的随机变量 $W$，定义

$$Y=W-c.$$

其中 $\lambda>0$，$\gamma,c$ 为常数。回答下列问题。

（1）给出 $X$ 的概率密度函数。

（2）给出 $X+Y$ 的概率密度函数。

（3）用 $\gamma,\lambda,c$ 表示 $E[X+Y]$。

Kai

(1) $X$ の確率密度関数を示せ．

$S$ は平均 $1$ の指数分布なので

$$f_S(s)= \begin{cases} e^{-s}, & s>0,\\[2pt] 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

である． $X=\lambda^{-1}S+\gamma$ から $S=\lambda(X-\gamma)$ ，よって

$$f_X(x) =f_S\bigl(\lambda(x-\gamma)\bigr)\,\lambda = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda(x-\gamma)}, & x>\gamma,\\[2pt] 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$$

(2) $X+Y$ の確率密度関数を示せ．

$W$ は $X$ と同じ分布なので

$$f_W(w)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda(w-\gamma)}, & w>\gamma,\\[2pt] 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$$

まず $X$ と $W$ の和

$$U=X+W$$

の分布を求める． $X' = X-\gamma,\ W'=W-\gamma$ とおくと， $X',W'$ はともに $\operatorname{Exp}(\lambda)$ に従い独立である． したがって

$$V=X'+W'$$

は形状母数 $2$ ，率 $\lambda$ のガンマ分布に従い，

$$f_V(v)= \begin{cases} \lambda^{2}v e^{-\lambda v}, & v>0,\\[2pt] 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$$

$U=V+2\gamma$ なので

$$f_U(u)= \begin{cases} \lambda^{2}(u-2\gamma)e^{-\lambda(u-2\gamma)}, & u>2\gamma,\\[2pt] 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$$

次に

$$Z=X+Y=X+W-c=U-c$$

とおくと，平行移動により

$$f_{X+Y}(z)=f_Z(z)=f_U(z+c) = \begin{cases} \lambda^{2}(z+c-2\gamma)e^{-\lambda(z+c-2\gamma)}, & z>2\gamma-c,\\[2pt] 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$$

(3) $E[X+Y]$ を $\gamma,\lambda,c$ を用いて表せ．

$$E[X]=E[\lambda^{-1}S+\gamma] =\lambda^{-1}E[S]+\gamma =\frac1\lambda+\gamma.$$

$W$ も $X$ と同分布なので $E[W]=\frac1\lambda+\gamma$ であり，

$$E[Y]=E[W-c]=\frac1\lambda+\gamma-c.$$

したがって

$$E[X+Y]=E[X]+E[Y] =\left(\frac1\lambda+\gamma\right) +\left(\frac1\lambda+\gamma-c\right) =\boxed{\frac{2}{\lambda}+2\gamma-c}.$$