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法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2023年8月実施 概率统计

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

確率変数X, Y, Zは

X=U,X = U,
Y=αX+ϵ1,Y = \alpha X + \epsilon_1,
Z=βX+γY+ϵ2Z = \beta X + \gamma Y + \epsilon_2

という構造を持つ。ただし、 E[U]=0,Var[U]=1,E[ϵi]=0,Var[ϵi]=1(i=1,2)E[U] = 0, Var[U] = 1, E[\epsilon_i] = 0, Var[\epsilon_i] = 1 (i = 1,2) で、これらは互いに独立である。 α,β,γ\alpha, \beta, \gamma を既知として、以下の問いに答えよ。

(1) E[XY]=αE[XY] = \alpha が成り立つことを示せ。

(2) XとYの相関係数を α\alpha を用いて表せ。

(3) (2)で求めた相関係数の絶対値が 1/21/2 以上となる α\alpha の範囲を求めよ。

(4) α,β,γ\alpha, \beta, \gamma を用いてYとZの共分散を示せ。

(5) XとYの相関係数の絶対値がちょうど 1/21/2 のときにYとZが正の相関を持つ場合、 β\beta と γ\gamma の絶対値の大小関係を示せ。また、同様に負の相関を持つ場合についても結論を述べよ。

题目描述​

随机变量 X,Y,ZX,Y,Z 具有如下结构：

X=U,X=U,
Y=αX+ϵ1,Y=\alpha X+\epsilon_1,
Z=βX+γY+ϵ2.Z=\beta X+\gamma Y+\epsilon_2.

其中

E[U]=0,Var⁡(U)=1,E[ϵi]=0,Var⁡(ϵi)=1(i=1,2),E[U]=0,\quad \operatorname{Var}(U)=1,\quad E[\epsilon_i]=0,\quad \operatorname{Var}(\epsilon_i)=1\quad(i=1,2),

且 U,ϵ1,ϵ2U,\epsilon_1,\epsilon_2 相互独立。已知 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma，回答下列问题。

（1）证明 E[XY]=αE[XY]=\alpha。

（2）用 α\alpha 表示 XX 与 YY 的相关系数。

（3）求使（2）所得相关系数的绝对值不小于 12\frac12 的 α\alpha 的范围。

（4）用 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 表示 YY 与 ZZ 的协方差。

（5）当 XX 与 YY 的相关系数绝对值恰为 12\frac12 时，讨论 YY 与 ZZ 正相关和负相关两种情形下，能否确定 ∣β∣|\beta| 与 ∣γ∣|\gamma| 的大小关系。题设现有条件只能唯一确定相应协方差不等式，不能单独确定两者绝对值的大小；如需得到固定的大小关系，还必须补充 β,γ\beta,\gamma 的符号等条件。

Kai​

(1) E[XY]=E[X(αX+ϵ1)]=E[αX2+Xϵ1]=αE[X2]+E[X]E[ϵ1]=αE[U2]+0=α(Var[U]+(E[U])2)=α(1+0)=αE[XY] = E[X(\alpha X + \epsilon_1)] = E[\alpha X^2 + X\epsilon_1] = \alpha E[X^2] + E[X]E[\epsilon_1] = \alpha E[U^2] + 0 = \alpha(Var[U] + (E[U])^2) = \alpha(1 + 0) = \alpha

(2) Corr(X,Y)=Cov(X,Y)Var(X)Var(Y)=E[XY]−E[X]E[Y]Var(X)Var(Y)=α−01(α2Var(X)+Var(ϵ1))=αα2+1Corr(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = \frac{\alpha - 0}{\sqrt{1(\alpha^2Var(X) + Var(\epsilon_1))}} = \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + 1}}

(3) ∣Corr(X,Y)∣=∣αα2+1∣≥12|Corr(X,Y)| = |\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + 1}}| \geq \frac{1}{2} α2α2+1≥14\frac{\alpha^2}{\alpha^2 + 1} \geq \frac{1}{4} 4α2≥α2+14\alpha^2 \geq \alpha^2 + 1 3α2≥13\alpha^2 \geq 1 α2≥13\alpha^2 \geq \frac{1}{3} ∣α∣≥13|\alpha| \geq \frac{1}{\sqrt{3}} Therefore, α≤−13\alpha \leq -\frac{1}{\sqrt{3}} or α≥13\alpha \geq \frac{1}{\sqrt{3}}

(4) Z=(β+αγ)X+γϵ1+ϵ2Z=(\beta+\alpha\gamma)X+\gamma\epsilon_1+\epsilon_2 である。また、各変数の平均は0で、 X,ϵ1,ϵ2X,\epsilon_1,\epsilon_2 は互いに独立なので、

Cov⁡(Y,Z)=E[(αX+ϵ1){(β+αγ)X+γϵ1+ϵ2}]=α(β+αγ)E[X2]+γE[ϵ12]=αβ+γ(α2+1).\begin{aligned} \operatorname{Cov}(Y,Z) &=E[(\alpha X+\epsilon_1)\{(\beta+\alpha\gamma)X+\gamma\epsilon_1+\epsilon_2\}]\\ &=\alpha(\beta+\alpha\gamma)E[X^2]+\gamma E[\epsilon_1^2]\\ &=\alpha\beta+\gamma(\alpha^2+1). \end{aligned}

(5)

∣αα2+1∣=12⟺α=s3(s∈{1,−1}).\left|\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+1}}\right|=\frac12 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha=\frac{s}{\sqrt3}\quad(s\in\{1,-1\}).

このとき、

Cov⁡(Y,Z)=sβ3+43γ=s3 β+4γ3.\operatorname{Cov}(Y,Z) =\frac{s\beta}{\sqrt3}+\frac43\gamma =\frac{s\sqrt3\,\beta+4\gamma}{3}.

Var⁡(Y)>0\operatorname{Var}(Y)>0 かつ Var⁡(Z)>0\operatorname{Var}(Z)>0 なので、 YY と ZZ が正の相関を持つための必要十分条件は

s3 β+4γ>0s\sqrt3\,\beta+4\gamma>0

であり、負の相関を持つための必要十分条件は

s3 β+4γ<0s\sqrt3\,\beta+4\gamma<0

である。

ただし、問題文の条件だけから ∣β∣|\beta| と ∣γ∣|\gamma| の一意な大小関係は導けない。例えば α=1/3\alpha=1/\sqrt3 のとき、正の相関について (β,γ)=(0,1)(\beta,\gamma)=(0,1) なら ∣β∣<∣γ∣|\beta|<|\gamma| である一方、 (2,0)(2,0) なら ∣β∣>∣γ∣|\beta|>|\gamma| である。負の相関についても (0,−1)(0,-1) と (−2,0)(-2,0) がそれぞれ逆の大小関係を与える。したがって、絶対値の大小を特定するには β,γ\beta,\gamma の符号などの追加条件が必要である。

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