法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2023年8月実施 微积分

标签：

• Hosei-University
• Double-Integral
• Integration

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

(1) $xy$ 平面上の閉領域 $D$ を $D = \{(x, y) | x \leq 1, y \geq 0, y \leq x\}$ とする. 2重積分

$$I = \iint_D (x^2 + xy + y^2) dxdy$$

の値を求めよ。

(2) 累次積分

$$J = \int_0^1 \left( \int_y^1 x^2 e^{xy} dx \right) dy$$

の値を求めよ。

题目描述

（1）在 $xy$ 平面上定义闭区域

$$D=\{(x,y)\mid x\le1,\ y\ge0,\ y\le x\}.$$

求二重积分

$$I=\iint_D(x^2+xy+y^2)\,dx\,dy$$

的值。

（2）求累次积分

$$J=\int_0^1\left(\int_y^1x^2e^{xy}\,dx\right)dy$$

的值。

Kai

(1) 首先确定积分区域 $D = \{(x, y) | x \leq 1, y \geq 0, y \leq x\}$ . 即 $0 \leq y \leq x, 0 \leq x \leq 1$ . 所以，

$$I = \int_0^1 \int_0^x (x^2 + xy + y^2) dy dx = \int_0^1 \left[ x^2y + \frac{1}{2}xy^2 + \frac{1}{3}y^3 \right]_0^x dx$$

$$= \int_0^1 \left( x^3 + \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{3}x^3 \right) dx = \int_0^1 \frac{11}{6} x^3 dx = \frac{11}{6} \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]_0^1 = \frac{11}{24}.$$

(2)

$$J = \int_0^1 \int_y^1 x^2 e^{xy} dx dy$$

改变积分顺序，得到 $D = \{(x, y) | 0 \leq y \leq x, 0 \leq x \leq 1\}$ .

$$J = \int_0^1 \int_0^x x^2 e^{xy} dy dx = \int_0^1 x^2 \left[ \frac{e^{xy}}{x} \right]_0^x dx = \int_0^1 x(e^{x^2} - 1) dx = \int_0^1 (xe^{x^2} - x) dx$$

$$= \left[ \frac{1}{2}e^{x^2} - \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2}e - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e-2}{2}.$$