法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2023年8月実施 线性代数

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

対称行列 $A$ を $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ とする。また、実数 $x_1, x_2, x_3$ は $(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 = 1$ を満たすとし、

$F = 2(x_1)^2 + 2(x_2)^2 + 2x_1x_2 + 2x_2x_3 - 2x_3x_1$ とする。

(1) 行列 $A$ は相異なる固有値 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ をもつ。ここで、 $\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3$ とする。 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ をそれぞれ求めよ。

(2) $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ とする。 $F$ を $A, x, {^t}x$ で表せ。ただし、 ${^t}x$ は $x$ の転置行列である。

(3) 適当な直交行列 $U$ をとると、行列 $A$ は ${^t}UAU = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix}$ と対角化できる。

$y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$ とし、 $x = Uy$ とおく。 $F$ を $y_1, y_2, y_3$ を用いて表せ。

(4) 前小問 (3) で定義した $y$ について、 $(y_1)^2 + (y_2)^2 + (y_3)^2 = 1$ が成り立つことを示せ。

(5) $F$ の最小値を求めよ。さらに、 $F$ が最小値をとるときの $(x_1, x_2, x_3)$ をすべて求めよ。

题目描述

给定对称矩阵

$$A= \begin{bmatrix} 2&1&-1\\ 1&2&1\\ -1&1&0 \end{bmatrix}.$$

设实数 $x_1,x_2,x_3$ 满足

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=1,$$

并定义

$$F=2x_1^2+2x_2^2+2x_1x_2+2x_2x_3-2x_3x_1.$$

（1）矩阵 $A$ 有三个互不相同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，且 $\lambda_1>\lambda_2>\lambda_3$。分别求出它们。

（2）令

$$x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}.$$

用 $A,x,{}^{t}x$ 表示 $F$，其中 ${}^{t}x$ 表示 $x$ 的转置。

（3）取适当的正交矩阵 $U$，可将 $A$ 对角化为

$${}^{t}UAU= \begin{bmatrix} \lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_3 \end{bmatrix}.$$

令

$$y=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}, \qquad x=Uy.$$

用 $y_1,y_2,y_3$ 表示 $F$。

（4）对（3）定义的 $y$，证明

$$y_1^2+y_2^2+y_3^2=1.$$

（5）求 $F$ 的最小值，并求出 $F$ 取得最小值时的全部 $(x_1,x_2,x_3)$。

Kai

(1) 行列 $A$ の固有値 $\lambda_1>\lambda_2>\lambda_3$ を求める．

$$\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & -1\\ 1 & 2-\lambda & 1\\ -1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} =-(\lambda-3)(\lambda-2)(\lambda+1).$$

よって

$$\boxed{\lambda_1=3,\quad \lambda_2=2,\quad \lambda_3=-1}.$$

(2) $x={}^t(x_1,x_2,x_3)$ とするとき， $F$ を $A,x,{}^tx$ で表す．

$${}^txAx= \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & 2 & 1\\ -1& 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} =2x_1^2+2x_2^2+2x_1x_2+2x_2x_3-2x_3x_1=F.$$

したがって

$$\boxed{F={}^txAx}.$$

(3) 適当な直交行列 $U$ により

$${}^tUAU= \begin{pmatrix} \lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_3 \end{pmatrix}$$

と対角化できる． $y={}^t(y_1,y_2,y_3)$ とし， $x=Uy$ とおくと

$$F={}^txAx={}^ty\,({}^tUAU)\,y =\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2.$$

すなわち

$$\boxed{F=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2}.$$

(4) (3) で定義した $y$ について $y_1^2+y_2^2+y_3^2=1$ であることを示す．

直交行列 $U$ について ${}^tUU=I$ が成り立つので，

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2 ={}^txx ={}^ty\,{}^tU U\,y ={}^tyy =y_1^2+y_2^2+y_3^2.$$

仮定より ${}^txx=1$ だから

$$\boxed{y_1^2+y_2^2+y_3^2=1}.$$

(5) $F$ の最小値と，そのときの $(x_1,x_2,x_3)$ をすべて求める．

(3)(4) より

$$F=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2, \qquad y_1^2+y_2^2+y_3^2=1,$$

であり $\lambda_1=3,\lambda_2=2,\lambda_3=-1$ である． 単位球上での二次形式の最小値は最小固有値に等しく，

$$F_{\min}=\lambda_3=-1.$$

$\lambda_3=-1$ の固有ベクトルを求めると，

$$(A+I)v=0 \quad\Rightarrow\quad v= \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix}$$

（スカラー倍も可）を得る． 条件 $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$ より，

$$\|v\|^2=1^2+(-1)^2+2^2=6$$

なので

$$x=\pm\frac1{\sqrt6} \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix}$$

が必要で十分である．

したがって

$$\boxed{F_{\min}=-1,\qquad (x_1,x_2,x_3) =\pm\frac1{\sqrt6}(1,-1,2)}.$$