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法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2021年8月実施 概率统计

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

既知の入力 xix_i ( i=1,…,ni=1,\dots,n ) に対して未知の出力 YiY_i ( i=1,…,ni = 1,\dots,n )が観測されるという状況の下、

Yi=α+βxi+ϵiY_i = \alpha + \beta x_i + \epsilon_i

という単回帰モデルを考える。ただし、 ϵi∼N(0,σ2)\epsilon_i \sim N(0,\sigma^2) とする。このとき、以下の問いに答えよ.

(1) E[Yi]E[Y_i] を求めよ.

(2) ある推定量 BB が

B=∑i=1n(xi−xˉ)Yi∑i=1nxi2−nxˉ2B = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})Y_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2}

で与えられるとき、推定量 BB が β\beta の不偏推定量となることを示せ。

(3) ある推定量 AA が(2)の推定量 BB を用いて

A=∑i=1nYin−BxˉA = \sum_{i=1}^n \frac{Y_i}{n} - B\bar{x}

のように表されるとき,推定量 AA が α\alpha の不偏推定量となることを示せ。

题目描述​

在已知输入 xi (i=1,…,n)x_i\ (i=1,\dots,n)、观测未知输出 Yi (i=1,…,n)Y_i\ (i=1,\dots,n) 的情形下，考虑简单线性回归模型

Yi=α+βxi+ϵi,Y_i=\alpha+\beta x_i+\epsilon_i,

其中 ϵi∼N(0,σ2)\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)。回答下列问题。

（1）求 E[Yi]E[Y_i]。

（2）给定估计量

B=∑i=1n(xi−xˉ)Yi∑i=1nxi2−nxˉ2,B= \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})Y_i} {\sum_{i=1}^nx_i^2-n\bar{x}^2},

证明 BB 是 β\beta 的无偏估计量。

（3）使用（2）的估计量 BB 定义

A=∑i=1nYin−Bxˉ.A=\sum_{i=1}^n\frac{Y_i}{n}-B\bar{x}.

证明 AA 是 α\alpha 的无偏估计量。

Kai​

以下の (2), (3) では Sxx=∑i=1n(xi−xˉ)2>0S_{xx}=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2>0、すなわち xix_i がすべて同じ値ではないことを仮定する。 Sxx=0S_{xx}=0 では、提示された BB は分母が 00 となり定義できない。

(1)

E[Yi]=E[α+βxi+ϵi]=E[α]+E[βxi]+E[ϵi]=α+βxi+0=α+βxi\begin{aligned} E[Y_i] &= E[\alpha + \beta x_i + \epsilon_i] \\ &= E[\alpha] + E[\beta x_i] + E[\epsilon_i] \\ &= \alpha + \beta x_i + 0 \\ &= \alpha + \beta x_i \end{aligned}

(2)

E[B]=E[∑i=1n(xi−xˉ)Yi∑i=1nxi2−nxˉ2]=∑i=1n(xi−xˉ)E[Yi]∑i=1nxi2−nxˉ2=∑i=1n(xi−xˉ)(α+βxi)∑i=1nxi2−nxˉ2=α∑i=1n(xi−xˉ)+β∑i=1n(xi−xˉ)xi∑i=1nxi2−nxˉ2=0+β∑i=1n(xi−xˉ)xi∑i=1nxi2−nxˉ2=β∑i=1n(xi2−xˉxi)∑i=1nxi2−nxˉ2=β(∑i=1nxi2−xˉ∑i=1nxi)∑i=1nxi2−nxˉ2=β(∑i=1nxi2−nxˉ2)∑i=1nxi2−nxˉ2=β\begin{aligned} E[B] &= E\left[\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})Y_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2}\right] \\ &= \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})E[Y_i]}{\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2} \\ &= \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(\alpha + \beta x_i)}{\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2} \\ &= \frac{\alpha \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) + \beta \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})x_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2} \\ &= \frac{0 + \beta \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})x_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2} \\ &= \frac{\beta \sum_{i=1}^n (x_i^2 - \bar{x}x_i)}{\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2} \\ &= \frac{\beta (\sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar{x} \sum_{i=1}^n x_i)}{\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2} \\ &= \frac{\beta (\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2)}{\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2} \\ &= \beta \end{aligned}

よって、 BB は β\beta の不偏推定量である。

(3)

E[A]=E[∑i=1nYin−Bxˉ]=1n∑i=1nE[Yi]−E[B]xˉ=1n∑i=1n(α+βxi)−βxˉ=1n(nα+β∑i=1nxi)−βxˉ=α+βxˉ−βxˉ=α\begin{aligned} E[A] &= E\left[\sum_{i=1}^n \frac{Y_i}{n} - B\bar{x}\right] \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[Y_i] - E[B]\bar{x} \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (\alpha + \beta x_i) - \beta\bar{x} \\ &= \frac{1}{n} (n\alpha + \beta \sum_{i=1}^n x_i) - \beta\bar{x} \\ &= \alpha + \beta \bar{x} - \beta\bar{x} \\ &= \alpha \end{aligned}

よって、 AA は α\alpha の不偏推定量である。

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