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法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2021年8月実施 概率统计

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

ATM が 1 台設置されている. ここを訪れる利用者は 1 時間当たり平均 12 人のポアソン分布に従い, 各利用者が入出金や振込等のために要する時間 (利用時間) は平均 3 分の指数分布に従う. 利用者の到着や利用時間は全て互いに独立で, 利用し終えたらその ATM を立ち去る. このとき, 以下の問いに答えよ.

(1) 利用者が ATM を訪れる時間間隔が従う確率分布の名称を明記し, この時間間隔の平均を示せ. なお, この問題は導出過程を明記する必要はなく, 結果のみで良い.

(2) ある ATM 利用者が立ち去った瞬間から次の利用者が ATM の利用を完了するまでの時間の分布 (確率密度関数) を求めよ.

(3) ある利用者が ATM を立ち去ってから既に 1 分経過している. この時点から 5 分以内に次の利用者が ATM を利用し終えていない確率を求めよ. なお, 指数関数の値は計算しなくて良い.

题目描述​

某处设有一台 ATM。到访用户人数服从每小时平均 12 人的 Poisson 分布，每位用户办理存取款、转账等业务所需的使用时间服从均值为 3 分钟的指数分布。所有用户的到达过程与使用时间均相互独立，用户使用结束后即离开 ATM。回答下列问题。

（1）写出相邻两位用户到访 ATM 的时间间隔所服从的概率分布名称，并给出该时间间隔的均值。本问无需写推导过程，只写结果即可。

（2）求从某位 ATM 用户离开的瞬间起，到下一位用户使用完 ATM 为止所经历时间的分布，即其概率密度函数。

（3）某位用户离开 ATM 后已经过了 1 分钟。求从此时起 5 分钟内下一位用户仍未使用完 ATM 的概率。指数函数的值无需计算为小数。

Kai​

条件について。 掲載されている問題文だけでは、退去時に待っている利用者がいるかどうか、また (3) で「次の利用完了がまだ起きていない」と観測したかどうかが指定されていない。以下では到着をポアソン過程と解釈し、(2) は退去直後に待ち行列が空である場合、(3) の条件付き確率はさらに T>1T>1 が分かっている場合を計算する。これらは解答に必要な仮定であり、原問題への条件追加を主張するものではない。

(1) 利用者の到着は 1 時間当たり平均 1212 人のポアソン分布に従うので，到着間隔は 強度 λ=12 [回/時間]\lambda=12\ \mathrm{[回/時間]} のポアソン過程の待ち時間であり，指数分布に従う． したがって，利用者が ATM を訪れる時間間隔 XX は平均

E[X]=1λ=112 [時間]=5 [分]E[X]=\frac1\lambda=\frac1{12}\ \text{[時間]}=5\ \text{[分]}

の指数分布である．

(2) ある利用者が立ち去ってから次の利用者が ATM の利用を完了するまでの時間を TT とする．

次の利用者が到着するまでの時間 XX は (1) より平均 55 分の指数分布：

X∼Exp⁡ ⁣(15), X\sim \operatorname{Exp}\!\left(\frac1{5}\right),

次の利用者の利用時間 YY は平均 33 分の指数分布：

Y∼Exp⁡ ⁣(13), Y\sim \operatorname{Exp}\!\left(\frac1{3}\right),

とし， XX と YY は独立である．

したがって

T=X+YT=X+Y

の確率密度関数は畳み込みにより

fT(t)=∫0t15e−x/5 13e−(t−x)/3 dx=12(e−t/5−e−t/3),t≥0.f_T(t) =\int_0^t \frac15 e^{-x/5}\,\frac13 e^{-(t-x)/3}\,dx =\frac12\left(e^{-t/5}-e^{-t/3}\right),\qquad t\ge0.

(3) 利用者が立ち去ってから 11 分経過し、さらに次の利用完了がまだ起きていない（ T>1T>1 ）ことが分かっている場合、この時点から 55 分以内に次の利用者が ATM を利用し終えていない条件付き確率は

P(T>6∣T>1)=P(T>6)P(T>1).P(T>6\mid T>1) =\frac{P(T>6)}{P(T>1)}.

(2) の密度から生存関数

P(T>t)=∫t∞fT(u) du=12(5e−t/5−3e−t/3),t≥0P(T>t)=\int_t^\infty f_T(u)\,du =\frac12\left(5e^{-t/5}-3e^{-t/3}\right),\qquad t\ge0

なので，

P(T>6∣T>1)=12(5e−6/5−3e−2)12(5e−1/5−3e−1/3)=5e−6/5−3e−25e−1/5−3e−1/3.P(T>6\mid T>1) =\frac{\frac12\left(5e^{-6/5}-3e^{-2}\right)} {\frac12\left(5e^{-1/5}-3e^{-1/3}\right)} =\frac{5e^{-6/5}-3e^{-2}}{5e^{-1/5}-3e^{-1/3}}.

指数関数の値は計算しなくてよい．

単に 11 分が経過しただけで T>1T>1 を条件としない場合には、求める事象は T>6T>6 なので、空の待ち行列から始めるモデルでは

P(T>6)=12(5e−6/5−3e−2)P(T>6)=\frac12\left(5e^{-6/5}-3e^{-2}\right)

となる。また、退去直後に待っている利用者がいると分かっている場合は T=YT=Y であり、 fT(t)=13e−t/3f_T(t)=\frac13e^{-t/3}（ t≥0t\ge0 ）である。退去時に待ち行列が空である確率を pp とすれば、一般にはこれらを混合した

fT(t)=p2(e−t/5−e−t/3)+1−p3e−t/3,t≥0f_T(t)=\frac p2\left(e^{-t/5}-e^{-t/3}\right) +\frac{1-p}{3}e^{-t/3},\qquad t\ge0

を用いる必要がある。元の設問がどの条件を意図したかは原資料による確認が必要である。

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