法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2021年8月実施 线性代数

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

数列 $\{a_n\}_{n\geq 1}, \{b_n\}_{n\geq 1}, \{c_n\}_{n\geq 1}$ が次の漸化式をみたしているとする。

$$\begin{pmatrix} a_{i+1} \\ b_{i+1} \\ c_{i+1} \end{pmatrix} = \frac{1}{3} A \begin{pmatrix} a_i \\ b_i \\ c_i \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

(1) $A$ の固有値、およびその固有値に対する固有ベクトルをそれぞれ一つ求めよ。 (2) $a_1 = 1, b_1 = -1, c_1 = 1$ とするとき、

$$\lim_{n\to\infty} a_n, \quad \lim_{n\to\infty} b_n, \quad \lim_{n\to\infty} c_n$$

を求めよ。 (3) $B = \frac{1}{2} A$ とする。 $v = {^t}(p, q, r)$ として、

$$B^n v = \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \\ r_n \end{pmatrix}$$

とする。このとき、 $\lim_{n\to\infty} p_n, \lim_{n\to\infty} q_n, \lim_{n\to\infty} r_n$ のすべてが有限の値に収束するための $p, q, r$ に関する条件を求めよ。ただし、 $p, q, r$ についての1次式に関する条件で表すこと。ここで ${^t}u$ は $u$ の転置を表すものとする。

题目描述

数列 $\{a_n\}_{n\ge1},\{b_n\}_{n\ge1},\{c_n\}_{n\ge1}$ 满足递推关系

$$\begin{pmatrix} a_{i+1}\\b_{i+1}\\c_{i+1} \end{pmatrix} =\frac13A \begin{pmatrix} a_i\\b_i\\c_i \end{pmatrix}, \qquad A= \begin{pmatrix} 0&-2&-2\\ 2&3&0\\ -1&0&3 \end{pmatrix}.$$

（1）求 $A$ 的全部特征值，并对每个特征值各求一个对应的特征向量。

（2）当 $a_1=1,\ b_1=-1,\ c_1=1$ 时，求

$$\lim_{n\to\infty}a_n,\qquad \lim_{n\to\infty}b_n,\qquad \lim_{n\to\infty}c_n.$$

（3）令 $B=\frac12A$，并令 $v={}^{t}(p,q,r)$。定义

$$B^nv= \begin{pmatrix} p_n\\q_n\\r_n \end{pmatrix}.$$

求使

$$\lim_{n\to\infty}p_n,\qquad \lim_{n\to\infty}q_n,\qquad \lim_{n\to\infty}r_n$$

全部收敛到有限值的 $p,q,r$ 的条件，并将条件表示为关于 $p,q,r$ 的一次式。这里 ${}^{t}u$ 表示 $u$ 的转置。

Kai

(1) 行列 $A$ の固有値および固有ベクトルを求める．

固有多項式は

$$\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} -\lambda & -2 & -2\\ 2 & 3-\lambda & 0\\ -1 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} =-(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3),$$

より

$$\boxed{\lambda_1=1,\quad \lambda_2=2,\quad \lambda_3=3}.$$

それぞれについて $(A-\lambda I)v=0$ を解くと，例えば

$$v_1= \begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 1 \end{pmatrix} \ (\lambda_1=1), \quad v_2= \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 1 \end{pmatrix} \ (\lambda_2=2), \quad v_3= \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \ (\lambda_3=3)$$

を固有ベクトルとして取ることができる．

(2) $a_1=1,\ b_1=-1,\ c_1=1$ のときの極限を求める．

$$x_1= \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} =\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3$$

とおくと

$$\alpha_1=1,\quad \alpha_2=-1,\quad \alpha_3=1$$

となる．

$$M=\frac13A$$

の固有値は

$$\mu_1=\frac13,\quad \mu_2=\frac23,\quad \mu_3=1$$

であり，固有ベクトルは $v_1,v_2,v_3$ のままである．したがって

$$x_n=M^{\,n-1}x_1 =\alpha_1\mu_1^{\,n-1}v_1+\alpha_2\mu_2^{\,n-1}v_2+\alpha_3\mu_3^{\,n-1}v_3 =\Big(\frac13\Big)^{n-1}v_1-\Big(\frac23\Big)^{n-1}v_2+v_3.$$

$n\to\infty$ で

$$(1/3)^{n-1}\to0,\ (2/3)^{n-1}\to0$$

より

$$\lim_{n\to\infty}x_n=v_3= \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}.$$

従って

$$\boxed{ \lim_{n\to\infty}a_n=0,\quad \lim_{n\to\infty}b_n=-1,\quad \lim_{n\to\infty}c_n=1 }.$$

(3) $B=\dfrac12A$ とし， $v={}^{t}(p,q,r)$ ，

$$B^{n}v= \begin{pmatrix} p_n\\ q_n\\ r_n \end{pmatrix}$$

とおく．

$B$ の固有値は

$$\tilde{\lambda}_1=\frac12,\quad \tilde{\lambda}_2=1,\quad \tilde{\lambda}_3=\frac32$$

であり，固有ベクトルはやはり $v_1,v_2,v_3$ である．

$$v=\beta_1 v_1+\beta_2 v_2+\beta_3 v_3$$

とすると

$$B^n v =\beta_1\Big(\frac12\Big)^n v_1 +\beta_2\cdot 1^{n} v_2 +\beta_3\Big(\frac32\Big)^n v_3.$$

$\left(p_n,q_n,r_n\right)$ の各成分が有界な値に収束するためには， $\bigl(\tfrac32\bigr)^n$ の項が存在してはならないので

$$\beta_3=0$$

が必要十分条件である．すなわち $v$ は $v_1,v_2$ の張る平面上にある必要がある．

$v_1,v_2$ に直交するベクトルとして

$$w= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$$

を取ると，

$$w\cdot v_1=0,\quad w\cdot v_2=0$$

が成り立つので，

$$v\in\mathrm{span}\{v_1,v_2\} \iff w\cdot v=0 \iff 0\cdot p+1\cdot q+2\cdot r=0.$$

したがって必要十分条件は

$$\boxed{q+2r=0\quad(\text{すなわち }q=-2r,\;p\text{ は任意})}.$$