法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2021年8月実施 微积分

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

極座標から直交座標への変換

$f: (r, \theta) \mapsto (x, y) = (r \cos\theta, r \sin\theta)$ を考える。ただし $r, \theta$ は $0 < r, -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ を動くものとする。

(1) 変換 $f$ のヤコビ行列式

$$det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix}$$

をもとめよ。

(2) 極座標表示 $(r, \theta)$ における領域 $D$

$$D = \{(r, \theta) | -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}, 0 < r < \cos\theta \}$$

の、変換 $f$ による像 $E$ を図示せよ。 $E$ の境界に現れる曲線の方程式も明示すること。

(3) 次の重積分を求めよ。

$$\iint_E \frac{x}{x^2 + y^2} dxdy$$

题目描述

考虑从极坐标到直角坐标的变换

$$f:(r,\theta)\longmapsto(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta),$$

其中

$$r>0,\qquad -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}.$$

（1）求变换 $f$ 的 Jacobi 行列式

$$\det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial\theta}\\[4pt] \dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial\theta} \end{pmatrix}.$$

（2）极坐标中的区域 $D$ 为

$$D=\left\{(r,\theta)\,\middle|\, -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2},\ 0<r<\cos\theta \right\}.$$

画出 $D$ 在变换 $f$ 下的像 $E$，并明确写出 $E$ 的边界曲线方程。

（3）求重积分

$$\iint_E\frac{x}{x^2+y^2}\,dx\,dy.$$

Kai

(1) ヤコビ行列式を求める。 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ なので、 $\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta, \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta$ $\frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta, \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta$

したがって、ヤコビ行列式は

$$det\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r$$

(2) $D = \{(r, \theta) | -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}, 0 < r < \cos\theta \}$ を $f$ で変換すると、 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ なので、

$$x^2+y^2=r^2<r\cos\theta=x.$$

逆に $x^2+y^2<x$ ならば $x>0$ であり、 $r=\sqrt{x^2+y^2}>0$ と取れば $-\pi/2<\theta<\pi/2$ かつ $r<\cos\theta$ となる。したがって

$$E=\left\{(x,y)\ \middle|\ \left(x-\frac12\right)^2+y^2<\left(\frac12\right)^2\right\}.$$

すなわち、 $E$ は中心 $(1/2,0)$ 、半径 $1/2$ の開円板である。その境界は円

$$x^2+y^2=x \quad\left(\text{すなわち } \left(x-\frac12\right)^2+y^2=\left(\frac12\right)^2\right)$$

のみであり、 $y$ 軸全体は境界ではない（円と $y$ 軸が接するのは原点だけである）。

(3) 重積分を計算する。 領域 $E$ を極座標で表すと、 $0 < r < \cos\theta, -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ である。

$$\iint_E \frac{x}{x^2 + y^2} dxdy = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\cos\theta} \frac{r\cos\theta}{r^2} r dr d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\cos\theta} \cos\theta dr d\theta$$

$$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [r\cos\theta]_0^{\cos\theta} d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta$$

$$= \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} + \frac{\sin(\pi)}{4} - \left(-\frac{\pi}{4} + \frac{\sin(-\pi)}{4} \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$