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法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2020年8月実施 线性代数

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

[I] 3 次正方行列 AA を， A=[221401113]A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} とする．

(1) ベクトル x1=[111]\boldsymbol{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} は AA の固有ベクトルである．対応する固有値 λ1\lambda_1 を答えよ．

(2) AA は λ2=2\lambda_2 = 2 を固有値にもつ． λ2\lambda_2 に対する固有ベクトル x2\boldsymbol{x}_2 をひとつ求めよ．

(3) ベクトル x3=[9−192]\boldsymbol{x}_3 = \begin{bmatrix} 9 \\ -19 \\ 2 \end{bmatrix} について， Ax3A\boldsymbol{x}_3 を求めよ．

(4) ベクトルの組 {x1,x2,x3}\{\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3\} は R3\mathbb{R}^3 の基底になっている．ここで， x1,x3\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_3 はそれぞれ (1), (3) で与えたベクトルで， x2\boldsymbol{x}_2 は (2) で求めたベクトルである． AA が定める線形写像を FAF_A とする：

FA:R3⟶R3;x⟼FA(x)=AxF_A : \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3; \quad \boldsymbol{x} \longmapsto F_A(\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x}

FAF_A の，基底 {x1,x2,x3}\{\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3\} に関する表現行列 DD を求めよ．すなわち， x∈R3\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^3 が x=ax1+bx2+cx3\boldsymbol{x} = a\boldsymbol{x}_1 + b\boldsymbol{x}_2 + c\boldsymbol{x}_3 ， FA(x)=a′x1+b′x2+c′x3F_A(\boldsymbol{x}) = a'\boldsymbol{x}_1 + b'\boldsymbol{x}_2 + c'\boldsymbol{x}_3 ( a,b,c,a′,b′,c′∈Ra, b, c, a', b', c' \in \mathbb{R} ) と表されるとき，

D[abc]=[a′b′c′]D \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a' \\ b' \\ c' \end{bmatrix}

となる 3 次正方行列 DD を求めよ．

题目描述​

【I】给定三阶方阵

A=[221401113].A=\begin{bmatrix} 2&2&1\\ 4&0&1\\ 1&1&3 \end{bmatrix}.

（1）向量

x1=[111]\boldsymbol{x}_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}

是 AA 的特征向量，求对应的特征值 λ1\lambda_1。

（2）已知 AA 还具有特征值 λ2=2\lambda_2=2，求一个与 λ2\lambda_2 对应的特征向量 x2\boldsymbol{x}_2。

（3）对向量

x3=[9−192],\boldsymbol{x}_3=\begin{bmatrix}9\\-19\\2\end{bmatrix},

求 Ax3A\boldsymbol{x}_3。

（4）向量组 {x1,x2,x3}\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{x}_3\} 是 R3\mathbb{R}^3 的一组基，其中 x1,x3\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_3 分别为（1）、（3）给出的向量，x2\boldsymbol{x}_2 为（2）求得的向量。令 FAF_A 为矩阵 AA 所定义的线性映射：

FA:R3⟶R3;x⟼FA(x)=Ax.F_A:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3;\qquad \boldsymbol{x}\longmapsto F_A(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}.

求 FAF_A 关于基 {x1,x2,x3}\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{x}_3\} 的表示矩阵 DD。也就是说，当

x=ax1+bx2+cx3,FA(x)=a′x1+b′x2+c′x3\boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}_1+b\boldsymbol{x}_2+c\boldsymbol{x}_3, \qquad F_A(\boldsymbol{x})=a'\boldsymbol{x}_1+b'\boldsymbol{x}_2+c'\boldsymbol{x}_3

（a,b,c,a′,b′,c′∈Ra,b,c,a',b',c'\in\mathbb{R}）时，求满足

D[abc]=[a′b′c′]D\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}a'\\b'\\c'\end{bmatrix}

的三阶方阵 DD。

Kai​

解答​

(1)​

直接計算すると

Ax1=[555]=5[111].A\boldsymbol{x}_1= \begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix} =5\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}.

したがって

λ1=5.\boxed{\lambda_1=5}.

(2)​

(A−2I)x=0(A-2I)\boldsymbol{x}=0 は

[0214−21111][xyz]=0\begin{bmatrix} 0&2&1\\ 4&-2&1\\ 1&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=0

である。これを解くと x=yx=y 、 z=−2yz=-2y となるので、例えば

x2=[11−2]\boxed{\boldsymbol{x}_2=\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}}

を取れる。

(3)​

行列積を計算すると

Ax3=[2⋅9+2(−19)+24⋅9+29−19+3⋅2]=[−1838−4]=−2x3.A\boldsymbol{x}_3 =\begin{bmatrix} 2\cdot9+2(-19)+2\\ 4\cdot9+2\\ 9-19+3\cdot2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-18\\38\\-4\end{bmatrix} =-2\boldsymbol{x}_3.

したがって

Ax3=[−1838−4].\boxed{A\boldsymbol{x}_3=\begin{bmatrix}-18\\38\\-4\end{bmatrix}}.

(4)​

(1)--(3) より

Ax1=5x1,Ax2=2x2,Ax3=−2x3.A\boldsymbol{x}_1=5\boldsymbol{x}_1,\qquad A\boldsymbol{x}_2=2\boldsymbol{x}_2,\qquad A\boldsymbol{x}_3=-2\boldsymbol{x}_3.

なお、列にこれらのベクトルを並べた行列の行列式は −84≠0-84\ne0 なので、確かに基底である。したがって、この基底に関する各像の座標ベクトルを列に並べれば

D=[50002000−2].\boxed{D= \begin{bmatrix} 5&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&-2 \end{bmatrix}}.
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