法政大学理工学研究科システム理工学専攻経営システム系 2020年8月実施概率统计

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思齐塾, 祭音Myyura

$(X_1, \dots, X_n)$ は正規母集団からの無作為標本で、平均は同じだが分散が異なる。 $i=1, \dots, n$ に対し $X_i \sim N(\mu, \sigma_i^2)$ で分散を既知としたとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\mu$ の最尤推定量 $\hat{\mu}$ が

\hat{\mu} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n \sigma_i^{-2}} \sum_{i=1}^n \frac{X_i}{\sigma_i^2}

で表されることを示せ。

(2) 前問で求めた最尤推定量が不偏性を満たすか否か示せ。

$(X_1,\dots,X_n)$ 是取自正态总体的随机样本，各变量均值相同而方差不同。对 $i=1,\dots,n$ ，设

X_i\sim N(\mu,\sigma_i^2),

其中各方差 $\sigma_i^2$ 已知。回答下列问题。

（1）证明 $\mu$ 的最大似然估计量 $\hat\mu$ 可表示为

\hat\mu =\frac{1}{\sum_{i=1}^n\sigma_i^{-2}} \sum_{i=1}^n\frac{X_i}{\sigma_i^2}.

（2）说明上一问所得最大似然估计量是否具有无偏性。

(1) 尤度関数は

L(\mu) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_i^2}} \exp \left( -\frac{(X_i - \mu)^2}{2\sigma_i^2} \right)

対数尤度関数は

\log L(\mu) = \sum_{i=1}^n \left[ -\frac{1}{2} \log(2\pi\sigma_i^2) - \frac{(X_i - \mu)^2}{2\sigma_i^2} \right]

$\mu$ で微分して0とおくと、

\frac{\partial \log L(\mu)}{\partial \mu} = \sum_{i=1}^n \frac{X_i - \mu}{\sigma_i^2} = 0

\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{\sigma_i^2} - \mu \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2} = 0

\hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{\sigma_i^2}}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n \sigma_i^{-2}} \sum_{i=1}^n \frac{X_i}{\sigma_i^2}

(2) 不偏性について

E[\hat{\mu}] = E\left[ \frac{1}{\sum_{i=1}^n \sigma_i^{-2}} \sum_{i=1}^n \frac{X_i}{\sigma_i^2} \right]

= \frac{1}{\sum_{i=1}^n \sigma_i^{-2}} \sum_{i=1}^n \frac{E[X_i]}{\sigma_i^2}

= \frac{1}{\sum_{i=1}^n \sigma_i^{-2}} \sum_{i=1}^n \frac{\mu}{\sigma_i^2}

= \mu \frac{\sum_{i=1}^n \sigma_i^{-2}}{\sum_{i=1}^n \sigma_i^{-2}} = \mu

よって、 $\hat{\mu}$ は $\mu$ の不偏推定量である。