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法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2020年8月実施 概率统计

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

[1] あるビルには3台のエレベーターが設置されている。これらは異なる A,B,Cの3社のメーカーが製造しており、各メーカーのエレベーターが故障するまでの時間 XA,XB,XCX_A, X_B, X_C (単位:年) は独立で、それぞれ平均 λA−1,λB−1,λC−1\lambda_A^{-1}, \lambda_B^{-1}, \lambda_C^{-1} の指数分布に従う。これら3台のエレベーターの使用を同時に開始する。このとき、以下の問いに答えよ。なお、指数関数の値は計算しなくて良い。

(1) λA−1=20,λB−1=25,λC−1=30\lambda_A^{-1} = 20, \lambda_B^{-1} = 25, \lambda_C^{-1} = 30 のとき、15年以上エレベーターが1台も故障しない確率を求めよ。

(2) λA=λB=λC=λ\lambda_A = \lambda_B = \lambda_C = \lambda のとき、2台目のエレベーターが故障するまでの時間Yの確率密度関数を λ\lambda を用いて表せ。なお、エレベーターが故障しても修理や交換は行わないものとして解答すること。

题目描述​

某栋大楼安装了三台电梯，分别由不同的 A、B、C 三家公司制造。各电梯从投入使用到发生故障的时间 XA,XB,XCX_A,X_B,X_C（单位：年）相互独立，并分别服从均值为 λA−1,λB−1,λC−1\lambda_A^{-1},\lambda_B^{-1},\lambda_C^{-1} 的指数分布。三台电梯同时开始使用。回答下列问题，指数函数的值无需计算为小数。

（1）当

λA−1=20,λB−1=25,λC−1=30\lambda_A^{-1}=20,\qquad \lambda_B^{-1}=25,\qquad \lambda_C^{-1}=30

时，求在 15 年内三台电梯均不发生故障的概率。

（2）当 λA=λB=λC=λ\lambda_A=\lambda_B=\lambda_C=\lambda 时，设 YY 为第二台电梯发生故障所经历的时间，用 λ\lambda 表示 YY 的概率密度函数。作答时假定电梯发生故障后不进行维修或更换。

Kai​

(1) XA,XB,XCX_A, X_B, X_C はそれぞれパラメータが λA,λB,λC\lambda_A, \lambda_B, \lambda_C の指数分布に従うので、

P(XA>15)=e−15λA=e−1520=e−34P(X_A > 15) = e^{-15\lambda_A} = e^{-\frac{15}{20}} = e^{-\frac{3}{4}}
P(XB>15)=e−15λB=e−1525=e−35P(X_B > 15) = e^{-15\lambda_B} = e^{-\frac{15}{25}} = e^{-\frac{3}{5}}
P(XC>15)=e−15λC=e−1530=e−12P(X_C > 15) = e^{-15\lambda_C} = e^{-\frac{15}{30}} = e^{-\frac{1}{2}}

よって、15年以上エレベーターが1台も故障しない確率は

P(XA>15,XB>15,XC>15)=P(XA>15)P(XB>15)P(XC>15)=e−34e−35e−12=e−15+12+1020=e−3720P(X_A > 15, X_B > 15, X_C > 15) = P(X_A > 15)P(X_B > 15)P(X_C > 15) = e^{-\frac{3}{4}}e^{-\frac{3}{5}}e^{-\frac{1}{2}} = e^{-\frac{15+12+10}{20}} = e^{-\frac{37}{20}}

(2) XA,XB,XCX_A, X_B, X_C はそれぞれパラメータが λ\lambda の指数分布に従う。このとき、Yは2番目の順序統計量である。 Yの確率密度関数は、y≥0y\geq 0 に対して

fY(y)=3(3−12−1)(1−e−λy)e−λyλe−λy=6λ(e−2λy−e−3λy)f_Y(y) = 3 \binom{3-1}{2-1} (1 - e^{-\lambda y}) e^{-\lambda y} \lambda e^{-\lambda y} = 6\lambda (e^{-2\lambda y} - e^{-3\lambda y})
fY(y)=6λe−2λy(1−e−λy)=6λ(e−2λy−e−3λy)f_Y(y) = 6\lambda e^{-2\lambda y} (1-e^{-\lambda y}) = 6\lambda (e^{-2\lambda y} - e^{-3\lambda y})

であり、y<0y<0 では fY(y)=0f_Y(y)=0 である。したがって、まとめると

fY(y)={6λ(e−2λy−e−3λy),y≥0,0,y<0f_Y(y)= \begin{cases} 6\lambda\left(e^{-2\lambda y}-e^{-3\lambda y}\right),&y\geq 0,\\ 0,&y<0 \end{cases}

となる。

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