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法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2020年8月実施 微积分

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

関数 f(x,y)=x33−xy+y2f(x,y) = \frac{x^3}{3} - xy + y^2 について、以下の問いに答えよ。

(1) 偏導関数 ∂f∂x,∂f∂y,∂2f∂x2,∂2f∂y2,∂2f∂x∂y\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} を求めよ。

(2) 関数 f(x,y)f(x, y) の停留点（臨界点）を求め、それらの点において f(x,y)f(x, y) が極値をとるかどうか判定せよ。もし極値をとる場合は、その値を求めよ。

题目描述​

给定函数

f(x,y)=x33−xy+y2,f(x,y)=\frac{x^3}{3}-xy+y^2,

回答下列问题。

（1）求偏导数

∂f∂x,∂f∂y,∂2f∂x2,∂2f∂y2,∂2f∂x∂y.\frac{\partial f}{\partial x},\quad \frac{\partial f}{\partial y},\quad \frac{\partial^2f}{\partial x^2},\quad \frac{\partial^2f}{\partial y^2},\quad \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}.

（2）求函数 f(x,y)f(x,y) 的驻点（临界点），并判断 f(x,y)f(x,y) 在各点是否取得极值；若取得极值，还要求出相应的极值。

Kai​

(1) 首先计算一阶偏导数：

∂f∂x=x2−y\frac{\partial f}{\partial x} = x^2 - y
∂f∂y=−x+2y\frac{\partial f}{\partial y} = -x + 2y

然后计算二阶偏导数：

∂2f∂x2=2x\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2x
∂2f∂y2=2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2
∂2f∂x∂y=∂2f∂y∂x=−1\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = -1

(2) 为了求临界点，我们需要解以下方程组：

∂f∂x=x2−y=0\frac{\partial f}{\partial x} = x^2 - y = 0
∂f∂y=−x+2y=0\frac{\partial f}{\partial y} = -x + 2y = 0

从第二个方程得到 x=2yx = 2y 。 将其代入第一个方程：

(2y)2−y=4y2−y=y(4y−1)=0(2y)^2 - y = 4y^2 - y = y(4y - 1) = 0

因此， y=0y = 0 或 y=14y = \frac{1}{4} 。 当 y=0y = 0 时， x=2(0)=0x = 2(0) = 0 。 所以第一个临界点是 (0,0)(0, 0) 。 当 y=14y = \frac{1}{4} 时， x=2(14)=12x = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} 。 所以第二个临界点是 (12,14)(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) 。 现在我们使用二阶偏导数测试来确定临界点是否为极值点。 令 D(x,y)=∂2f∂x2⋅∂2f∂y2−(∂2f∂x∂y)2=(2x)(2)−(−1)2=4x−1D(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y})^2 = (2x)(2) - (-1)^2 = 4x - 1 。 对于临界点 (0,0)(0, 0) ， D(0,0)=4(0)−1=−1<0D(0, 0) = 4(0) - 1 = -1 < 0 。 因为 D<0D < 0 ，所以 (0,0)(0, 0) 是鞍点，不是极值点。 对于临界点 (12,14)(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) ， D(12,14)=4(12)−1=2−1=1>0D(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{2}) - 1 = 2 - 1 = 1 > 0 。 由于 D>0D > 0 并且 ∂2f∂x2(12,14)=2(12)=1>0\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) = 2(\frac{1}{2}) = 1 > 0 ，所以 (12,14)(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) 是局部最小值点。 该点的函数值为:

f(12,14)=(12)33−(12)(14)+(14)2=124−18+116=2−6+348=−148f(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) = \frac{(\frac{1}{2})^3}{3} - (\frac{1}{2})(\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2 - 6 + 3}{48} = -\frac{1}{48}

所以， f(12,14)=−148f(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) = -\frac{1}{48} 。

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