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法政大学 理工学研究科 システム理工学専攻 経営システム系 2020年8月実施 微积分

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

[II] f(x,y)=x2+xy+y2f(x,y) = x^2 + xy + y^2 とする。 xyxy 平面上の閉領域 D1,D2,D3D_1, D_2, D_3 を、それぞれ

D1={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤1},D_1 = \{(x, y) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\},
D2={(x,y)∣x≥0,y≥0,x+y≤1},D_2 = \{(x, y) | x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 1\},
D3={(x,y)∣x≥0,y≥0,x2+y2≤1}D_3 = \{(x, y) | x \geq 0, y \geq 0, x^2 + y^2 \leq 1\}

とする。2重積分

I1=∬D1f(x,y)dxdy,I2=∬D2f(x,y)dxdy,I3=∬D3f(x,y)dxdyI_1 = \iint_{D_1} f(x, y) dxdy, \quad I_2 = \iint_{D_2} f(x, y) dxdy, \quad I_3 = \iint_{D_3} f(x, y) dxdy

の値をそれぞれ求めよ。

题目描述​

【II】设

f(x,y)=x2+xy+y2.f(x,y)=x^2+xy+y^2.

在 xyxy 平面上分别定义闭区域

D1={(x,y)∣0≤x≤1, 0≤y≤1},D_1=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\},
D2={(x,y)∣x≥0, y≥0, x+y≤1},D_2=\{(x,y)\mid x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 1\},
D3={(x,y)∣x≥0, y≥0, x2+y2≤1}.D_3=\{(x,y)\mid x\ge 0,\ y\ge 0,\ x^2+y^2\le 1\}.

分别求二重积分

I1=∬D1f(x,y) dx dy,I2=∬D2f(x,y) dx dy,I3=∬D3f(x,y) dx dyI_1=\iint_{D_1}f(x,y)\,dx\,dy,\qquad I_2=\iint_{D_2}f(x,y)\,dx\,dy,\qquad I_3=\iint_{D_3}f(x,y)\,dx\,dy

的值。

Kai​

まず、 I1I_1 を計算します。

I1=∬D1(x2+xy+y2)dxdy=∫01∫01(x2+xy+y2)dxdyI_1 = \iint_{D_1} (x^2 + xy + y^2) dxdy = \int_0^1 \int_0^1 (x^2 + xy + y^2) dxdy
=∫01[x33+x2y2+y2x]01dy=∫01(13+y2+y2)dy= \int_0^1 [\frac{x^3}{3} + \frac{x^2y}{2} + y^2x]_0^1 dy = \int_0^1 (\frac{1}{3} + \frac{y}{2} + y^2) dy
=[y3+y24+y33]01=13+14+13=4+3+412=1112= [\frac{y}{3} + \frac{y^2}{4} + \frac{y^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{4 + 3 + 4}{12} = \frac{11}{12}

次に、 I2I_2 を計算します。

I2=∬D2(x2+xy+y2)dxdy=∫01∫01−x(x2+xy+y2)dydxI_2 = \iint_{D_2} (x^2 + xy + y^2) dxdy = \int_0^1 \int_0^{1-x} (x^2 + xy + y^2) dy dx
=∫01[x2y+xy22+y33]01−xdx=∫01[x2(1−x)+x(1−x)22+(1−x)33]dx= \int_0^1 [x^2y + \frac{xy^2}{2} + \frac{y^3}{3}]_0^{1-x} dx = \int_0^1 [x^2(1-x) + \frac{x(1-x)^2}{2} + \frac{(1-x)^3}{3}] dx
=∫01[x2−x3+x(1−2x+x2)2+1−3x+3x2−x33]dx= \int_0^1 [x^2 - x^3 + \frac{x(1-2x+x^2)}{2} + \frac{1-3x+3x^2-x^3}{3}] dx
=∫01[x2−x3+x2−x2+x32+13−x+x2−x33]dx= \int_0^1 [x^2 - x^3 + \frac{x}{2} - x^2 + \frac{x^3}{2} + \frac{1}{3} - x + x^2 - \frac{x^3}{3}] dx
=∫01[−56x3+x2−x2+13]dx= \int_0^1 [-\frac{5}{6}x^3 + x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{3}] dx
=[−524x4+x33−x24+x3]01=−524+13−14+13=−5+8−6+824=524= [-\frac{5}{24}x^4 + \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{3}]_0^1 = -\frac{5}{24} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{-5 + 8 - 6 + 8}{24} = \frac{5}{24}

最後に、 I3I_3 を計算します。極座標変換 x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta, y = r\sin\theta を用います。

I3=∬D3(x2+xy+y2)dxdy=∫0π2∫01(r2cos⁡2θ+r2cos⁡θsin⁡θ+r2sin⁡2θ)rdrdθI_3 = \iint_{D_3} (x^2 + xy + y^2) dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 (r^2\cos^2\theta + r^2\cos\theta\sin\theta + r^2\sin^2\theta) r dr d\theta
=∫0π2∫01r3(1+cos⁡θsin⁡θ)drdθ=∫0π2[r44(1+cos⁡θsin⁡θ)]01dθ= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 r^3 (1 + \cos\theta\sin\theta) dr d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} [\frac{r^4}{4} (1 + \cos\theta\sin\theta)]_0^1 d\theta
=∫0π214(1+cos⁡θsin⁡θ)dθ=14∫0π2(1+12sin⁡(2θ))dθ= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4} (1 + \cos\theta\sin\theta) d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \frac{1}{2}\sin(2\theta)) d\theta
=14[θ−14cos⁡(2θ)]0π2=14[(π2−14cos⁡(π))−(0−14cos⁡(0))]= \frac{1}{4} [\theta - \frac{1}{4}\cos(2\theta)]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4} [(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\cos(\pi)) - (0 - \frac{1}{4}\cos(0))]
=14[π2+14+14]=14[π2+12]=π+18= \frac{1}{4} [\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}] = \frac{1}{4} [\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}] = \frac{\pi + 1}{8}
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