北海道大学 理学院 物性物理学専攻・宇宙理学専攻 2020年8月実施 問題V

Author

Miyake

Description

Kai

問1

1-1.

掃き出し法により、次のように求められる：

[参考] 千葉逸人「工学部で学ぶ数学」

1-2.

与えられた微分方程式の右辺を とおいた式に （ は によらない定数） を代入すると を得るので、 この微分方程式の一般解は、積分定数を として、

である。 また、与えられた微分方程式に （ は によらない定数）を代入すると を得るので が特殊解であることがわかる。 以上より、与えられた微分方程式の一般解は、積分定数を として、

であることがわかる。

1-3.

• 千葉逸人「工学部で学ぶ数学」 例 4.18
• 矢野・石原「複素解析」 4.3.IV
• 後藤・山本・神吉「詳解 物理応用数学 演習」 4 [42]

問2

まず、 より、

であり、また、 の関数 について

である。

2-1.

などが成り立つから、与えられた式が成り立つことがわかる。

2-2.

などが成り立つから、与えられた式が成り立つことがわかる。

問3

3-1.

まず、 について、

が成り立つから、与えられたフーリエ級数展開の式の両辺を について から まで積分することで

がわかる。

次に、 について、

が成り立つ（ はクロネッカーのデルタ）から、 について、与えられたフーリエ級数展開の式の両辺に、 をかけて について から まで積分することで

がわかり、 をかけて について から まで積分することで

がわかる。

以上より、題意が示された。

3-2.

まず、

であり、次に、 について

である。 よって、与えられた関数のフーリエ級数展開は、次の通りである：

3-3.

3-2. で得たフーリエ級数展開の式において とすると

となるので、これを整理して題意の式を得る。