北海道大学 水産科学院 海洋生物資源科学専攻 海洋環境科学講座 海洋物理学

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Author

祭音Myyura

Description

x軸の正の方向に進む平面波の波数を $k$，周波数を $\omega$ とする。このとき，波数と周波数がわずかに異なる 2 つの平面波，波 1 と波 2 の重ね合わせを考える。波 1 と波 2 の波数を

$$k_1 = k + \Delta k,\qquad k_2 = k - \Delta k$$

周波数を

$$\omega_1 = \omega + \Delta \omega,\qquad \omega_2 = \omega - \Delta \omega$$

とする。また，波 1 と波 2 の振幅は等しく，$a$ とする。ただし，$\Delta k$，$\Delta \omega$ は，それぞれ波数 $k$，周波数 $\omega$ に比べて十分に小さい定数であり，$\Delta k > 0$ とする。このとき，波 1 の変位を

$$\eta_1 = a \sin(k_1 x - \omega_1 t)$$

波 2 の変位を

$$\eta_2 = a \sin(k_2 x - \omega_2 t)$$

と表すと，重ね合わせた波の変位は，下記のように書ける。

$$\eta = \eta_1 + \eta_2 = 2a \cos(B) \sin(kx - \omega t)$$

(1) 上の式の $B$ の部分を $\Delta k$，$\Delta \omega$，$x$，$t$ を用いて表しなさい。（15点）

参考：公式

$$\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2\cos B \sin A$$

(2) 波の位相速度は

$$C = \frac{\omega}{k}$$

エネルギーの伝播速度である群速度は

$$C_g = \frac{\Delta \omega}{\Delta k}$$

で与えられる。波 1 と波 2 の位相速度が等しいとき，位相速度 $C$ と群速度 $C_g$ の関係を求めなさい。（10点）

题目描述

设沿 $x$ 轴正方向传播的平面波具有波数 $k$ 和频率 $\omega$。考虑波数、频率仅有微小差异且振幅同为 $a$ 的两个平面波：

$$k_1=k+\Delta k,\qquad k_2=k-\Delta k,$$

$$\omega_1=\omega+\Delta\omega,\qquad \omega_2=\omega-\Delta\omega,$$

其中 $\Delta k,\Delta\omega$ 分别远小于 $k,\omega$，且 $\Delta k>0$。两波位移为

$$\eta_1=a\sin(k_1x-\omega_1t),$$

$$\eta_2=a\sin(k_2x-\omega_2t).$$

叠加位移可写成

$$\eta=\eta_1+\eta_2 =2a\cos(B)\sin(kx-\omega t).$$

1. 用 $\Delta k,\Delta\omega,x,t$ 表示 $B$。（15 分）可使用

   $$\sin(A+B)+\sin(A-B)=2\cos B\sin A.$$

2. 相速度和群速度分别定义为

   $$C=\frac\omega k,\qquad C_g=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}.$$

   当波 1 与波 2 的相速度相等时，求 $C$ 与 $C_g$ 的关系。（10 分）

考点

• 近频率波的叠加与拍频：使用和差化积把叠加波分离为快速载波和缓慢包络。
• 波包包络传播：从余弦包络相位识别群速度。
• 相速度与群速度：在两分量具有相同相速度的条件下比较有限差分 $\Delta\omega/\Delta k$ 与 $\omega/k$。

Kai

(1)

波 1，波 2 の変位はそれぞれ

$$\eta_1=a\sin(k_1x-\omega_1t),\qquad \eta_2=a\sin(k_2x-\omega_2t)$$

である。ここで

$$k_1=k+\Delta k,\qquad k_2=k-\Delta k,$$

$$\omega_1=\omega+\Delta\omega,\qquad \omega_2=\omega-\Delta\omega$$

より，

$$\begin{aligned} \eta &=\eta_1+\eta_2 \\ &=a\sin\{(k+\Delta k)x-(\omega+\Delta\omega)t\} +a\sin\{(k-\Delta k)x-(\omega-\Delta\omega)t\} \\ &=a\sin\{(kx-\omega t)+(\Delta kx-\Delta\omega t)\} +a\sin\{(kx-\omega t)-(\Delta kx-\Delta\omega t)\}. \end{aligned}$$

ここで

$$A=kx-\omega t,\qquad B=\Delta kx-\Delta\omega t$$

とおくと，

$$\eta =a\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}.$$

公式

$$\sin(A+B)+\sin(A-B)=2\cos B\sin A$$

を用いると，

$$\eta=2a\cos(\Delta kx-\Delta\omega t)\sin(kx-\omega t)$$

となる。したがって，

$$\boxed{B=\Delta kx-\Delta\omega t}$$

である。

(2)

波 1，波 2 の位相速度をそれぞれ (C_1, C_2) とすると，

$$C_1=\frac{\omega_1}{k_1} =\frac{\omega+\Delta\omega}{k+\Delta k},$$

$$C_2=\frac{\omega_2}{k_2} =\frac{\omega-\Delta\omega}{k-\Delta k}$$

である。

波 1 と波 2 の位相速度が等しいので，

$$C_1=C_2$$

より，

$$\frac{\omega+\Delta\omega}{k+\Delta k} = \frac{\omega-\Delta\omega}{k-\Delta k}$$

である。両辺を交差に掛けると，

$$(\omega+\Delta\omega)(k-\Delta k) = (\omega-\Delta\omega)(k+\Delta k)$$

となる。これを展開すると，

$$\omega k-\omega\Delta k+k\Delta\omega-\Delta\omega\Delta k = \omega k+\omega\Delta k-k\Delta\omega-\Delta\omega\Delta k$$

である。両辺から共通する項を消去すると，

$$-\omega\Delta k+k\Delta\omega = \omega\Delta k-k\Delta\omega$$

となる。したがって，

$$2k\Delta\omega=2\omega\Delta k$$

より，

$$k\Delta\omega=\omega\Delta k$$

を得る。ここで (\Delta k>0) であるから，

$$\frac{\Delta\omega}{\Delta k} = \frac{\omega}{k}$$

である。

群速度は

$$C_g=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}$$

であり，位相速度は

$$C=\frac{\omega}{k}$$

であるから，

$$\boxed{C_g=C}$$

となる。すなわち，波 1 と波 2 の位相速度が等しいとき，群速度は位相速度に等しい。