北海道大学 工学院 機械・宇宙航空工学系 2020年8月実施 熱力学 問1

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• 北海道大学
• 朗肯循环

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

図1に示すランキンサイクルがある。

• プロセス1–2：蒸気タービンによる断熱膨張
• プロセス2–3：復水器による等温等圧冷却
• プロセス3–4：ポンプによる水の断熱圧縮
• プロセス4–1：ボイラーによる等圧加熱

タービン入口（状態1）は圧力 $5\ \mathrm{MPa}$，温度 $600\ ^\circ\mathrm C$ の過熱蒸気状態で，復水温度（状態2，状態3）が $60\ ^\circ\mathrm C$ であり，ポンプの仕事は無視できる（状態3と状態4のエンタルピーは同じ）ものとする。次頁の蒸気表（表1，表2）を用いて，以下の問いに答えなさい。なお，有効数字3桁（4桁まで計算して3桁で記載）で答えなさい。

(1) 状態1の比エンタルピー $h_1\ [\mathrm{kJ/kg}]$ を求めなさい。

(2) 状態1から状態2への変化を可逆断熱（等エントロピー変化）と仮定したときの状態2の乾き度 $x$ と比エンタルピー $h_2\ [\mathrm{kJ/kg}]$ を求めなさい。

(3) 状態1から状態2への変化は実際には不可逆変化であり，図1の $T$–$s$ 線図上の状態2′（復水温度 $60\ ^\circ\mathrm C$）へ変化する。タービンの断熱効率 $\eta_t=0.900$ とし，以下の断熱効率の式を用いて状態2′における比エンタルピー $h_{2'}\ [\mathrm{kJ/kg}]$ を求めなさい。

$$\eta_t=\frac{h_1-h_{2'}}{h_1-h_2}$$

(4) 状態3（$60\ ^\circ\mathrm C$ の飽和水状態）における比エンタルピー $h_3\ [\mathrm{kJ/kg}]$ を求めなさい。

(5) 蒸気 $1\ \mathrm{kg}$ あたりのボイラーにおける加熱量 $q\ [\mathrm{kJ/kg}]$，タービンで実際に取り出すことのできる仕事量 $w\ [\mathrm{kJ/kg}]$，およびサイクルの熱効率 $\eta\ [\%]$ を求めなさい。

表1 水の飽和表（温度基準）

温度 $[^\circ\mathrm C]$	比エンタルピー $h'\ [\mathrm{kJ/kg}]$	比エンタルピー $h''\ [\mathrm{kJ/kg}]$	比エントロピー $s'\ [\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}]$	比エントロピー $s''\ [\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}]$
40	167.5	2573.5	0.5724	8.256
50	209.3	2591.3	0.7038	8.075
60	251.2	2608.9	0.8312	7.908
70	293.0	2626.1	0.9550	7.754
80	335.0	2643.0	1.075	7.611

$h'$：飽和水の比エンタルピー，$h''$：乾き飽和蒸気の比エンタルピー。

$s'$：飽和水の比エントロピー，$s''$：乾き飽和蒸気の比エントロピー。

表2 過熱蒸気表

圧力 $[\mathrm{MPa}]$	物性値	$300\ ^\circ\mathrm C$	$400\ ^\circ\mathrm C$	$500\ ^\circ\mathrm C$	$600\ ^\circ\mathrm C$	$700\ ^\circ\mathrm C$
4	$h$	2961.7	3214.4	3445.8	3674.9	3906.4
4	$s$	6.364	6.771	7.092	7.370	7.622
5	$h$	2925.6	3196.6	3434.5	3666.8	3900.5
5	$s$	6.211	6.648	6.978	7.260	7.514
6	$h$	2885.5	3178.2	3423.0	3658.8	3894.5
6	$s$	6.070	6.543	6.882	7.169	7.425

$h$：比エンタルピー $[\mathrm{kJ/kg}]$，$s$：比エントロピー $[\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}]$。

题目描述

有图1所示的朗肯循环。

• 过程1–2：蒸汽在汽轮机中绝热膨胀。
• 过程2–3：在冷凝器中等温、等压冷却。
• 过程3–4：水在泵中绝热压缩。
• 过程4–1：在锅炉中等压加热。

汽轮机入口（状态1）为压力 $5\ \mathrm{MPa}$、温度 $600\ ^\circ\mathrm C$ 的过热蒸汽，冷凝温度（状态2、状态3）为 $60\ ^\circ\mathrm C$。泵功可忽略，即状态3和状态4的焓相同。使用所给蒸汽表（表1、表2）回答下列问题。答案保留3位有效数字，先计算到4位，再以3位记载。

(1) 求状态1的比焓 $h_1\ [\mathrm{kJ/kg}]$。

(2) 假设状态1到状态2的变化为可逆绝热（等熵），求状态2的干度 $x$ 和比焓 $h_2\ [\mathrm{kJ/kg}]$。

(3) 状态1到状态2的实际过程不可逆，将到达图1的 $T$–$s$ 图中的状态2′，其冷凝温度仍为 $60\ ^\circ\mathrm C$。令汽轮机绝热效率 $\eta_t=0.900$，利用下式求状态2′的比焓 $h_{2'}\ [\mathrm{kJ/kg}]$。

$$\eta_t=\frac{h_1-h_{2'}}{h_1-h_2}.$$

(4) 求状态3（$60\ ^\circ\mathrm C$ 饱和水）的比焓 $h_3\ [\mathrm{kJ/kg}]$。

(5) 求每 $1\ \mathrm{kg}$ 蒸汽在锅炉中的加热量 $q\ [\mathrm{kJ/kg}]$、汽轮机实际可输出的功 $w\ [\mathrm{kJ/kg}]$，以及循环热效率 $\eta\ [\%]$。

表1 水的饱和性质表（按温度）

温度 $[^\circ\mathrm C]$	比焓 $h'\ [\mathrm{kJ/kg}]$	比焓 $h''\ [\mathrm{kJ/kg}]$	比熵 $s'\ [\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}]$	比熵 $s''\ [\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}]$
40	167.5	2573.5	0.5724	8.256
50	209.3	2591.3	0.7038	8.075
60	251.2	2608.9	0.8312	7.908
70	293.0	2626.1	0.9550	7.754
80	335.0	2643.0	1.075	7.611

$h'$：饱和水比焓；$h''$：干饱和蒸汽比焓；$s'$：饱和水比熵；$s''$：干饱和蒸汽比熵。

表2 过热蒸汽表

压力 $[\mathrm{MPa}]$	物性值	$300\ ^\circ\mathrm C$	$400\ ^\circ\mathrm C$	$500\ ^\circ\mathrm C$	$600\ ^\circ\mathrm C$	$700\ ^\circ\mathrm C$
4	$h$	2961.7	3214.4	3445.8	3674.9	3906.4
4	$s$	6.364	6.771	7.092	7.370	7.622
5	$h$	2925.6	3196.6	3434.5	3666.8	3900.5
5	$s$	6.211	6.648	6.978	7.260	7.514
6	$h$	2885.5	3178.2	3423.0	3658.8	3894.5
6	$s$	6.070	6.543	6.882	7.169	7.425

$h$：比焓 $[\mathrm{kJ/kg}]$；$s$：比熵 $[\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}]$。

Kai

(1), (2)

蒸気表より $h_1=3666.8\,\mathrm{kJ/kg}$、$s_1=7.260\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$。したがって

$$\boxed{h_1=3.67\times10^3\,\mathrm{kJ/kg}}.$$

可逆断熱膨張では $s_2=s_1$。飽和水・乾き飽和蒸気の値を $s_f,s_g,h_f,h_g$ として

$$x=\frac{s_1-s_f}{s_g-s_f} =\frac{7.260-0.8312}{7.908-0.8312}=0.908433\ldots,$$

$$h_2=h_f+x(h_g-h_f)=2393.0129\ldots\,\mathrm{kJ/kg}.$$

$$\boxed{x=0.908,\qquad h_2=2.39\times10^3\,\mathrm{kJ/kg}}.$$

(3), (4)

$$\begin{gathered} h_{2'}=h_1-0.900(h_1-h_2)=2520.3916\ldots\,\mathrm{kJ/kg},\\ \boxed{h_{2'}=2.52\times10^3\,\mathrm{kJ/kg}}. \end{gathered}$$

状態3は $60\,{}^\circ\mathrm C$ の飽和水なので

$$\boxed{h_3=251\,\mathrm{kJ/kg}}\qquad(h_3=251.2\text{ を以後の計算に用いる}).$$

(5)

$$\begin{gathered} q=h_1-h_3=3415.6\,\mathrm{kJ/kg},\\ w=h_1-h_{2'}=1146.4084\ldots\,\mathrm{kJ/kg},\\ \eta=\frac wq=0.3356389\ldots. \end{gathered}$$

$$\boxed{q=3.42\times10^3\,\mathrm{kJ/kg},\quad w=1.15\times10^3\,\mathrm{kJ/kg},\quad\eta=33.6\%}.$$

Reference

• 北海道大学公式原題の保存版：令和3年度、令和2年8月25日実施、PDF 11–12ページ