北海道大学 工学院 機械・宇宙航空工学系 2020年8月実施 材料力学 問1 Author 祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)
Description 図1のように，長さ L L L d 1 d_1 d 1 d 2 d_2 d 2 e e e T T T t t t e < L / 2 e<L/2 e < L /2 E E E G G G α \alpha α
(1) この円管の断面二次極モーメントを求めなさい。
(2) 断面 C のねじれ角を求めなさい。
(3) 円管に生じる最大のせん断応力の大きさ，およびその方向が中心軸方向となす角度を求めなさい。
题目描述
如图1，将长度为 L L L d 1 d_1 d 1 d 2 d_2 d 2 e e e T T T t t t e < L / 2 e<L/2 e < L /2 E E E G G G α \alpha α
(1) 求圆管截面的极惯性矩。
(2) 求截面 C 的扭转角。
(3) 求圆管中最大剪应力的大小，以及其方向与中心轴方向之间的夹角。
Kai (1)
I p = ∫ d 2 / 2 d 1 / 2 r 2 ( 2 π r ) d r = π 32 ( d 1 4 − d 2 4 ) . \boxed{I_p=\int_{d_2/2}^{d_1/2}r^2(2\pi r)\,dr
=\frac\pi{32}(d_1^4-d_2^4)}. I p = ∫ d 2 /2 d 1 /2 r 2 ( 2 π r ) d r = 32 π ( d 1 4 − d 2 4 ) . (2)
両壁の反力トルクの大きさを T A , T B T_A,T_B T A , T B
T A + T B = T , T A e = T B ( L − e ) . T_A+T_B=T,\qquad T_Ae=T_B(L-e). T A + T B = T , T A e = T B ( L − e ) . したがって T A = T ( L − e ) / L , T B = T e / L T_A=T(L-e)/L,T_B=Te/L T A = T ( L − e ) / L , T B = T e / L T T T
ϕ C = T e ( L − e ) G I p L = 32 T e ( L − e ) π G L ( d 1 4 − d 2 4 ) \boxed{\phi_C=\frac{Te(L-e)}{GI_pL}
=\frac{32Te(L-e)}{\pi GL(d_1^4-d_2^4)}} ϕ C = G I p L T e ( L − e ) = π G L ( d 1 4 − d 2 4 ) 32 T e ( L − e ) だけ回転する。
(3)
e < L / 2 e<L/2 e < L /2
τ 0 = T A ( d 1 / 2 ) I p = 16 T ( L − e ) d 1 π L ( d 1 4 − d 2 4 ) . \tau_0=\frac{T_A(d_1/2)}{I_p}
=\frac{16T(L-e)d_1}{\pi L(d_1^4-d_2^4)}. τ 0 = I p T A ( d 1 /2 ) = π L ( d 1 4 − d 2 4 ) 16 T ( L − e ) d 1 . 軸方向ひずみが拘束されるので 0 = σ x / E + α t 0=\sigma_x/E+\alpha t 0 = σ x / E + α t σ x = − E α t \sigma_x=-E\alpha t σ x = − E α t q = E α t q=E\alpha t q = E α t
σ 1 , 2 = − q 2 ± q 2 4 + τ 0 2 . \sigma_{1,2}=-\frac q2\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+\tau_0^2}. σ 1 , 2 = − 2 q ± 4 q 2 + τ 0 2 . 第三主応力0は両者の間にあるため、三次元の最大せん断応力も
τ max = ( E α t 2 ) 2 + [ 16 T ( L − e ) d 1 π L ( d 1 4 − d 2 4 ) ] 2 . \boxed{\tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{E\alpha t}{2}\right)^2+
\left[\frac{16T(L-e)d_1}{\pi L(d_1^4-d_2^4)}\right]^2}}. τ m a x = ( 2 E α t ) 2 + [ π L ( d 1 4 − d 2 4 ) 16 T ( L − e ) d 1 ] 2 . 局所的な周方向を τ x θ = τ 0 > 0 \tau_{x\theta}=\tau_0>0 τ x θ = τ 0 > 0 ϕ \phi ϕ τ ( ϕ ) = ( q / 2 ) sin 2 ϕ + τ 0 cos 2 ϕ \tau(\phi)=(q/2)\sin2\phi+\tau_0\cos2\phi τ ( ϕ ) = ( q /2 ) sin 2 ϕ + τ 0 cos 2 ϕ
ϕ = 1 2 tan − 1 E α t 2 τ 0 ( 0 ≤ ϕ ≤ π / 4 ) . \boxed{\phi=\frac12\tan^{-1}\frac{E\alpha t}{2\tau_0}}
\quad(0\le\phi\le\pi/4). ϕ = 2 1 tan − 1 2 τ 0 E α t ( 0 ≤ ϕ ≤ π /4 ) . 最大せん断応力の二つの直交する方向は、軸から ϕ \phi ϕ ϕ + π / 2 \phi+\pi/2 ϕ + π /2
Reference 