北海道大学 工学院 機械・宇宙航空工学系 2020年8月実施 流体力学 問1

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• 致动盘理论
• 控制体动量守恒

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

下図のように，風車を通過する密度 $\rho$ の非圧縮非粘性流体の流れを考える。風車の十分上流で流れは流速 $V_1$ の一様流である。図中の斜線部分は流れが減速している領域であり，この領域を検査体積として用いる。風車の十分上流の断面 a（断面積 $A_1$）での流体の流速は $V_1$ であるが，風車位置の断面 b のロータ回転面（断面積 $A$）を通過する流体の流速は $V$ となり，十分下流の断面 c（断面積 $A_2$）では流速 $V_2$ となる。検査体積の点線部分での流体の流出入はない。流れはロータ回転軸に平行な一次元流れであり，風車に加わる力は全てロータ回転面に加わると仮定しなさい。損失と重力の影響は無視しなさい。以下の問いに答えなさい。

(1) 風車に加わるロータ回転軸方向の力を，運動量保存の法則を適用することにより求め，$\rho,A,V,V_1,V_2$ を用いて示しなさい。力の向きは右向き（上流から下流向き）か，左向きかを理由と共に記しなさい。なお，検査体積境界面での圧力は大気圧であるとしなさい。

(2) 断面 b の上流側（断面 $b_-$）と断面 b の下流側（断面 $b_+$）とで，流速は等しいが，圧力は不連続となる。断面 $b_-$ での圧力を $P_-$，断面 $b_+$ での圧力を $P_+$ とする。$P_-$ と $P_+$ のどちらが高いかを理由と共に記し，$P_-$ と $P_+$ との圧力差 $\Delta P$ を，ベルヌーイの定理を適用することにより求め，$\rho,V_1,V_2$ を用いて示しなさい。

(3) 風車に加わるロータ回転軸方向の力は $A\Delta P$ であることを用い，(1) と (2) の結果を比較することにより，$V=(V_1+V_2)/2$ となることを示しなさい。

(4) 断面積 $A_1$ を単位時間に通過する流体が有するエネルギーと，断面積 $A_2$ を単位時間に通過する流体が有するエネルギーの差が，風車の出力 $L$ に等しいとする。このときの $L$ を求めなさい。

(5) 出力 $L$ を最大にする $V_2/V_1$ を求めなさい。

题目描述

如图，考虑密度为 $\rho$ 的不可压、无黏流体通过风力机的流动。足够远的上游为速度 $V_1$ 的均匀流。图中斜线区域是流体减速的区域，以该区域为控制体。远上游截面 a（面积 $A_1$）处流速为 $V_1$；在风力机位置的截面 b，流体以速度 $V$ 通过转子旋转面（面积 $A$）；远下游截面 c（面积 $A_2$）处流速为 $V_2$。控制体的虚线边界处没有流体进出。假定流动是平行于转子轴的一维流动，风力机所受力全部作用在转子旋转面上。忽略损失和重力影响。回答下列问题。

(1) 运用动量守恒，求风力机沿转子轴方向所受的力，用 $\rho,A,V,V_1,V_2$ 表示。指出力向右（从上游指向下游）还是向左，并说明理由。控制体边界面处的压力为大气压。

(2) 截面 b 的上游侧（截面 $b_-$）和下游侧（截面 $b_+$）流速相同，但压力不连续。设两侧压力分别为 $P_-,P_+$。说明哪一侧压力较高及其理由，再运用伯努利定理求两侧压力差 $\Delta P$，用 $\rho,V_1,V_2$ 表示。

(3) 利用风力机沿转子轴方向所受力为 $A\Delta P$，比较 (1)、(2) 的结果，证明 $V=(V_1+V_2)/2$。

(4) 假定单位时间内通过面积 $A_1$ 的流体所具有的能量与通过面积 $A_2$ 的流体所具有的能量之差，等于风力机输出功率 $L$，求 $L$。

(5) 求使输出功率 $L$ 最大的 $V_2/V_1$。

Kai

(1)

質量流量は $\dot m=\rho A_1V_1=\rho AV=\rho A_2V_2$。流体への力は $\dot m(V_2-V_1)$ なので、その反作用として風車への力は

$$\boxed{F=\rho AV(V_1-V_2)}.$$

風車が流れを減速させる $V_2<V_1$ の場合、風車は下流向きの力を受ける。

(2)

大気圧を $P_0$ とし、ロータの前後で別々にベルヌーイの式を適用する。

$$P_0+\frac12\rho V_1^2=P_-+\frac12\rho V^2, \qquad P_++\frac12\rho V^2=P_0+\frac12\rho V_2^2.$$

したがって

$$\boxed{\Delta P=P_--P_+=\frac12\rho(V_1^2-V_2^2)>0}.$$

ロータでエネルギーが取り出され、同じ速度でも直後の圧力が低くなる。

(3)

$F=A\Delta P$ から $\rho AV(V_1-V_2)=\rho A(V_1^2-V_2^2)/2$。仕事を取り出す $V_1\ne V_2$ の場合、

$$\boxed{V=\frac{V_1+V_2}{2}}.$$

(4), (5)

遠方の圧力は等しいので、出力は運動エネルギー流量差に等しい。

$$\boxed{\mathcal L=\frac12\dot m(V_1^2-V_2^2) =\frac14\rho A(V_1+V_2)(V_1^2-V_2^2)}.$$

$r=V_2/V_1$ とおくと $\mathcal L=(\rho AV_1^3/4)(1+r)^2(1-r)$。$0<r<1$ での微分は定数倍を除き $(1+r)(1-3r)$ なので

$$\boxed{\frac{V_2}{V_1}=\frac13},\qquad \mathcal L_{\max}=\frac{16}{27}\frac12\rho AV_1^3.$$

Reference

• 北海道大学公式原題の保存版：令和3年度、令和2年8月25日実施、PDF 8ページ