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北海道大学 工学院 機械・宇宙航空工学系 2021年度 機械力学・制御工学 問1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

半径 RR、質量 MM の一様な円板が水平な床に接し、滑らずに転がる。円板中心Oの鉛直上方、距離 aa にある点Eを水平ばね k1k_1 で左壁につなぎ、中心Oを水平ばね k2k_2 で右壁につなぐ。平衡位置では両ばねは自然長である。円板を右へ微小距離 xx 動かすと、時計回りに微小角 θ\theta 回転する。静かに離すと床から離れずに振動する。床との摩擦力を FF とする。

  1. 中心軸まわりの慣性モーメント I=MR2/2I=MR^2/2 を導け。
  2. 水平方向の並進運動方程式を求めよ。
  3. 回転運動方程式を求めよ。
  4. FF を含まない、θ\theta に関する運動方程式を求めよ。
  5. 固有角振動数 ω0\omega_0 を求めよ。
  6. ばね k1k_1 の取付点を円板の上端Dに移し、水平に左壁へつなぎ直す。その後の固有角振動数が 1.5ω01.5\omega_0 となった。k1=k2k_1=k_2 のとき、元の距離 aa を RR で表せ。

题目描述​

半径 RR、质量 MM 的均匀圆盘在水平地面无滑动滚动。圆心正上方距离 aa 的E点通过水平弹簧 k1k_1 接左墙，圆心通过水平弹簧 k2k_2 接右墙，平衡时均为原长。盘向右位移 xx 时顺时针转角为 θ\theta。求转动惯量、平动和转动方程，消去地面摩擦力，求固有角频率。将左弹簧接点移到圆盘最上端后，固有角频率变为原来的1.5倍；两弹簧刚度相同时，求原接点高度 aa。

Kai​

(1)​

面密度 M/(πR2)M/(\pi R^2) の同心円環を積分すると

I=∫0Rr2MπR22πr dr=12MR2.\boxed{I=\int_0^Rr^2\frac{M}{\pi R^2}2\pi r\,dr=\frac12MR^2}.

(2), (3)​

摩擦力 FF を右向き正とする。ばねの微小伸びはそれぞれ x+aθx+a\theta と xx だから

Mx¨=−k1(x+aθ)−k2x+F.\boxed{M\ddot x=-k_1(x+a\theta)-k_2x+F}.

時計回りを正とする中心まわりのモーメントは

Iθ¨=−k1a(x+aθ)−FR.\boxed{I\ddot\theta=-k_1a(x+a\theta)-FR}.

(4), (5)​

滑りなしの拘束 x=Rθx=R\theta と並進の式を使って FF を消去すると

32MR2θ¨+[k1(R+a)2+k2R2]θ=0,\boxed{\frac32MR^2\ddot\theta+ [k_1(R+a)^2+k_2R^2]\theta=0},
ω0=2[k1(R+a)2+k2R2]3MR2.\boxed{\omega_0=\sqrt{\frac{2[k_1(R+a)^2+k_2R^2]}{3MR^2}}}.

運動エネルギー 12(I+MR2)θ˙2\tfrac12(I+MR^2)\dot\theta^2 とばねエネルギー 12[k1(R+a)2+k2R2]θ2\tfrac12[k_1(R+a)^2+k_2R^2]\theta^2 からも同じ式を得る。

(6)​

上端に移すと R+aR+a が 2R2R になる。k1=k2=kk_1=k_2=k より

ω12ω02=5R2(R+a)2+R2=94.\frac{\omega_1^2}{\omega_0^2} =\frac{5R^2}{(R+a)^2+R^2}=\frac94.

a>0a>0 を満たす根は

a=11−33R≃0.106R.\boxed{a=\frac{\sqrt{11}-3}{3}R\simeq0.106R}.

Reference​

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