北海道大学情報科学院情報科学専攻システム情報科学コース 2022年8月実施専門科目1 問1 (応用数学I)

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\begin{align} A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -1 & 5 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{align}

$A$ の固有値を $a$ とすると、

\begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} 2-a & -1 & 2 \\ -1 & 5-a & -1 \\ 2 & -1 & 2-a \end{pmatrix} \\ &= -a^3 + 9a^2 - 18a \\ &= -a(a-3)(a-6) \\ \therefore \ \ a &= 0, 3, 6 \end{align}

である。固有値 $a=0,3,6$ に属する大きさ $1$ の固有ベクトルは、それぞれ、

\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align}

である。

$A$ の最大の固有値は $6$ であるから、 $\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x} = 1$ のときの $Q$ の最大値は $6$ である。