北海道大学 情報科学院 情報科学専攻 生体情報工学コース 2022年8月実施 専門科目1 問1 (線形代数・ベクトル解析)

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Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

題意の要約。出典：大学公開原卷の保存版（PDF 2ページ）。

1. 二次曲線

$C:3x^2+2xy+3y^2=1$ を考える。

(1) 左辺を実対称行列による二次形式で表す。

(2) 原点を中心とする座標軸の回転によって $C$ を $XY$ 座標で標準形に直す。二通りの標準形と、それぞれの $(x,y)$ から $(X,Y)$ への一次変換を求める。

2. 実対称行列

実対称行列の固有値が実数であることを証明する。

3. ベクトル解析

$\boldsymbol r=(x,y,z)$、$r=|\boldsymbol r|$ とする。

(1) $r\ne0$ において $\operatorname{div}(\boldsymbol r/r^3)=0$ を証明する。

(2) 原点が面上にない閉曲面 $S$ と外向き単位法線 $\boldsymbol n$ に対し、原点が $S$ の外部にある場合と内部にある場合について、それぞれ次の積分を求める。

$$\iint_S\frac{\boldsymbol r}{r^3}\cdot\boldsymbol n\,dS.$$

题目描述

1. 二次曲线：考虑 $3x^2+2xy+3y^2=1$。

1. 将左侧写成实对称矩阵对应的二次型。
2. 通过绕原点的坐标轴旋转化为标准形，给出两种标准形以及各自从 $(x,y)$ 到 $(X,Y)$ 的线性变换。两种形式为 $2X^2+4Y^2=1$ 和 $4X^2+2Y^2=1$；相应坐标变换必须是旋转。

2. 实对称矩阵：证明实对称矩阵的全部特征值都是实数。

3. 向量分析：令 $\boldsymbol r=(x,y,z)$、$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。

1. 证明在 $r\ne0$ 时，$\operatorname{div}(\boldsymbol r/r^3)=0$。
2. 对原点不在其上的闭曲面 $S$，取外向单位法向量 $\boldsymbol n$，分别在原点位于曲面外部、内部时计算

$$\iint_S\frac{\boldsymbol r}{r^3}\cdot\boldsymbol n\,dS.$$

Kai

1.

(1)

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(2)

(1) で求めた行列

$$\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

の固有値を $a$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} 3-a & 1 \\ 1 & 3-a \end{pmatrix} \\ &= a^2 - 6a + 8 \\ &= (a-2)(a-4) \\ \therefore \ \ a &= 2, 4 \end{aligned}$$

である。 固有値 $a=2$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと $u+v=0$ であり、 固有値 $a=4$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと $u=v$ である。 よって、行列

$$\begin{aligned} P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} , \ \ Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

は $P^TP=Q^TQ=I$ および $\det P=\det Q=1$ を満たす回転行列である。それぞれの逆行列で座標を変換すると、$C$ の標準形が得られる。

(i) $C$ は

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} P P^{-1} A P P^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= 1 \end{aligned}$$

と書けるので、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} &= P^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} x-y \\ x+y \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と変換することで、標準形

$$\begin{aligned} 2X^2 + 4Y^2 = 1 \end{aligned}$$

を得る。

(ii) $C$ は

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} Q Q^{-1} A Q Q^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= 1 \end{aligned}$$

と書けるので、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} &= Q^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} x+y \\ -x+y \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と変換することで、標準形

$$\begin{aligned} 4X^2 + 2Y^2 = 1 \end{aligned}$$

を得る。

2.

実対称行列 $B$ の固有値を $b$ とし、それに属する固有ベクトルを $\boldsymbol{v}$ とする：

$$\begin{aligned} B \boldsymbol{v} = b \boldsymbol{v} . \end{aligned}$$

複素数の複素共役を $*$ で表し、 行列・ベクトルのエルミート共役を $\dagger$ で表すと、次が成り立つ：

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}^\dagger B^\dagger &= b^* \boldsymbol{v}^\dagger . \end{aligned}$$

$B$ は実対称行列であり $B^\dagger = B$ であるから、次のように書ける：

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}^\dagger B &= b^* \boldsymbol{v}^\dagger . \end{aligned}$$

そこで、 $\boldsymbol{v}^\dagger B \boldsymbol{v}$ は、次の2通りに計算できる：

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}^\dagger B \boldsymbol{v} &= \boldsymbol{v}^\dagger \left( B \boldsymbol{v} \right) \\ &= b \boldsymbol{v}^\dagger \boldsymbol{v} , \\ \boldsymbol{v}^\dagger B \boldsymbol{v} &= \left( \boldsymbol{v}^\dagger B \right) \boldsymbol{v} \\ &= b^* \boldsymbol{v}^\dagger \boldsymbol{v} . \end{aligned}$$

$\boldsymbol{v}$ はゼロベクトルでないから $\boldsymbol{v}^\dagger \boldsymbol{v} \ne 0$ であり、 $b = b^*$ すなわち $b$ は実数であることがわかる。

3.

(1)

$r \ne 0$ のとき、

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} r &= \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ &= \frac{x}{r} \\ \therefore \ \ \frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{r^3} &= \frac{r^3 - x \cdot 3 r^2 \cdot \frac{x}{r}}{r^6} \\ &= \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5} \end{aligned}$$

であり、同様にして、

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{r^3} &= \frac{1}{r^3} - \frac{3y^2}{r^5} ,\\ \frac{\partial}{\partial z} \frac{z}{r^3} &= \frac{1}{r^3} - \frac{3z^2}{r^5} \end{aligned}$$

である。 よって、

$$\begin{aligned} \mathrm{div} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} &= \frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{r^3} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{r^3} + \frac{\partial}{\partial z} \frac{z}{r^3} \\ &= 0 \end{aligned}$$

がわかる。

(2)

閉曲面 $S$ で囲まれる部分を $V$ で表す。

(場合 I)

ガウスの発散定理より、

$$\begin{aligned} \iint_S \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \cdot \boldsymbol{n} dS &= \iiint_V \mathrm{div} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} dV \\ &= 0 \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (1) } ) \end{aligned}$$

がわかる。

(場合 II)

原点を中心とする半径 $\varepsilon$ の球面を $S_0$ とする。 ただし、 $\varepsilon$ は十分小さく、 $S_0$ は $V$ の内部にあるとする。 また、 $S_0$ に囲まれる部分を $V_0$ とし、 $V$ から $V_0$ を除いた部分を $V_1$ とする。 さらに、 $S_0$ の外向きの単位法線ベクトルを $\boldsymbol{n}_0$ とする。 このとき、

$$\begin{aligned} 0 &=\iiint_{V_1}\operatorname{div}\frac{\boldsymbol r}{r^3}\,dV\\ &=\iint_S\frac{\boldsymbol r}{r^3}\cdot\boldsymbol n\,dS -\iint_{S_0}\frac{\boldsymbol r}{r^3}\cdot\boldsymbol n_0\,dS_0. \end{aligned}$$

したがって、

$$\iint_S\frac{\boldsymbol r}{r^3}\cdot\boldsymbol n\,dS =\frac1{\varepsilon^2}\,4\pi\varepsilon^2=4\pi.$$

がわかる。