北海道大学 情報科学院 情報科学専攻 生体情報工学コース 2022年8月実施 専門科目1 問1 (線形代数・ベクトル解析)

Author

Miyake

Description

Kai

1.

(1)

(2)

(1) で求めた行列

の固有値を とすると、

である。 固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと であり、 固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと である。 よって、行列

によって 平面を 平面に変換することで、 の標準形が得られる。

(i) は

と書けるので、

と変換することで、標準形

を得る。

(ii) は

と書けるので、

と変換することで、標準形

を得る。

2.

実対称行列 の固有値を とし、それに属する固有ベクトルを とする：

複素数の複素共役を で表し、 行列・ベクトルのエルミート共役を で表すと、次が成り立つ：

は実対称行列であり であるから、次のように書ける：

そこで、 は、次の2通りに計算できる：

はゼロベクトルでないから であり、 すなわち は実数であることがわかる。

3.

(1)

のとき、

であり、同様にして、

である。 よって、

がわかる。

(2)

閉曲面 で囲まれる部分を で表す。

(場合 I)

ガウスの発散定理より、

がわかる。

(場合 II)

原点を中心とする半径 の球面を とする。 ただし、 は十分小さく、 は の内部にあるとする。 また、 に囲まれる部分を とし、 から を除いた部分を とする。 さらに、 の外向きの単位法線ベクトルを とする。 このとき、

がわかる。