北海道大学 情報科学院 情報科学専攻 メディアネットワークコース 2022年8月実施 専門科目1 [1] 応用数学

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Author

祭音Myyura

Description

1-1

次の行列 について，以下の問いに答えよ。ただし， は実数である。

(1) 行列 の固有値と固有ベクトルを全て求めよ。

(2) の値によらず，

が成り立つことを示せ。

1-2

3 次元ベクトル関数

について，次の問いに答えよ。ただし， は 方向の単位ベクトルである。

(1) ベクトル関数 の発散

を求めよ。ただし，

である。

(2) (1) で求められたスカラー関数 を，直交座標表示 から円筒座標表示 に変換せよ。ただし， 平面上の を中心としたときの動径距離，すなわち半径を とし，方位角 は 軸上の正の方向で となるように定めるものとする。

(3) 円錐面

および，底面

から成る閉曲面 について考える。

ベクトル関数 の面 に関する法線面積分を計算すると，面 上の単位法線ベクトル を用いて，

と表せる。ここで， は整数である。 の値を求めよ。

ただし，式の左辺はガウスの発散定理と，(2) で得られた円筒座標表示のスカラー関数 を用いて，次のような体積積分に変形できることを用いてもよい。

Kai

1-1

(1)

行列 の固有値を求める。

したがって，

より，

である。

固有値 のとき

より，

したがって，

である。よって，固有ベクトルは

の実数倍である。

固有値 のとき

より，

したがって，

である。よって，固有ベクトルは

の実数倍である。

(2)

行列 は，単位行列 と行列 を用いて表すことができる。

なので，

を計算すると，

である。したがって，

である。

ここで，単位行列 は任意の行列と可換であり，また は自分自身と可換であるから，

が成り立つ。

よって，

であり， より，

また，

である。

したがって，

が の値によらず成り立つ。

1-2

(1)

したがって，

である。

(2)

円筒座標では，

であるから，

したがって，

である。

(3)

式④より，

ここで，

であるから，

したがって，

より，

である。