北海道大学 情報科学院 情報科学専攻 メディアネットワークコース 2022年8月実施 専門科目1 [1] 応用数学

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祭音Myyura

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1-1

次の行列 $A, B$ について，以下の問いに答えよ。ただし，$a$ は実数である。

$$A= \begin{pmatrix} 3a+2 & (a-2)\sqrt{3}\\ (a-2)\sqrt{3} & a+6 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}$$

(1) 行列 $B$ の固有値と固有ベクトルを全て求めよ。

(2) $a$ の値によらず，

$$AAB=ABA=BAA$$

が成り立つことを示せ。

1-2

3 次元ベクトル関数

$$\mathbf{v}(x,y,z) = xy\mathbf{i}_x+8y\mathbf{i}_y-2z(z+1)\mathbf{i}_z$$

について，次の問いに答えよ。ただし，$\mathbf{i}_x,\mathbf{i}_y,\mathbf{i}_z$ は $x,y,z$ 方向の単位ベクトルである。

(1) ベクトル関数 $\mathbf{v}$ の発散

$$f(x,y,z)=\nabla\cdot \mathbf{v}$$

を求めよ。ただし，

$$\nabla= \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i}_x+ \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{i}_y+ \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{i}_z$$

である。

(2) (1) で求められたスカラー関数 $f(x,y,z)$ を，直交座標表示 $(x,y,z)$ から円筒座標表示 $(r,\theta,z)$ に変換せよ。ただし，$xy$ 平面上の $x=y=0$ を中心としたときの動径距離，すなわち半径を $r\ (r\geq 0)$ とし，方位角 $\theta\ (0\leq \theta \leq 2\pi)$ は $x$ 軸上の正の方向で $\theta=0$ となるように定めるものとする。

(3) 円錐面

$$S_0:\ r=-z\quad (-1\leq z\leq 0)$$

および，底面

$$S_1:\ r\leq 1\quad (z=-1)$$

から成る閉曲面 $S$ について考える。

ベクトル関数 $\mathbf{v}$ の面 $S$ に関する法線面積分を計算すると，面 $S$ 上の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を用いて，

$$\iint_S \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\,dS=m\pi$$

と表せる。ここで，$m$ は整数である。$m$ の値を求めよ。

ただし，式の左辺はガウスの発散定理と，(2) で得られた円筒座標表示のスカラー関数 $f(r,\theta,z)$ を用いて，次のような体積積分に変形できることを用いてもよい。

$$\iint_S \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\,dS = \int_{z=-1}^{z=0} \int_{r=0}^{r=-z} r \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} f(r,\theta,z) \,d\theta\,dr\,dz$$

Kai

1-1

(1)

行列 $B$ の固有値を求める。

$$\det(B-\lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & -1-\lambda \end{vmatrix}$$

$$=(1-\lambda)(-1-\lambda)-3$$

$$=\lambda^2-1-3 =\lambda^2-4$$

したがって，

$$\lambda^2-4=0$$

より，

$$\lambda=2,\ -2$$

である。

固有値 $\lambda=2$ のとき

$$B-2I= \begin{pmatrix} -1 & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & -3 \end{pmatrix}$$

より，

$$-x+\sqrt{3}y=0$$

したがって，

$$x=\sqrt{3}y$$

である。よって，固有ベクトルは

$$\begin{pmatrix} \sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix}$$

の実数倍である。

$$\boxed{ \lambda=2,\quad \mathbf{v}=c \begin{pmatrix} \sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix} \quad (c\neq 0) }$$

固有値 $\lambda=-2$ のとき

$$B+2I= \begin{pmatrix} 3 & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}$$

より，

$$3x+\sqrt{3}y=0$$

したがって，

$$y=-\sqrt{3}x$$

である。よって，固有ベクトルは

$$\begin{pmatrix} 1\\ -\sqrt{3} \end{pmatrix}$$

の実数倍である。

$$\boxed{ \lambda=-2,\quad \mathbf{v}=c \begin{pmatrix} 1\\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \quad (c\neq 0) }$$

(2)

行列 $A$ は，単位行列 $I$ と行列 $B$ を用いて表すことができる。

$$B= \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}$$

なので，

$$(2a+4)I+(a-2)B$$

を計算すると，

$$(2a+4)I+(a-2)B = \begin{pmatrix} 2a+4 & 0\\ 0 & 2a+4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a-2 & (a-2)\sqrt{3}\\ (a-2)\sqrt{3} & -(a-2) \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 3a+2 & (a-2)\sqrt{3}\\ (a-2)\sqrt{3} & a+6 \end{pmatrix} =A$$

である。したがって，

$$A=(2a+4)I+(a-2)B$$

である。

ここで，単位行列 $I$ は任意の行列と可換であり，また $B$ は自分自身と可換であるから，

$$AB=BA$$

が成り立つ。

よって，

$$AAB=A^2B$$

であり，$AB=BA$ より，

$$AAB=A(AB)=A(BA)=ABA$$

また，

$$ABA=(AB)A=(BA)A=BAA$$

である。

したがって，

$$\boxed{ AAB=ABA=BAA }$$

が $a$ の値によらず成り立つ。

1-2

(1)

$$\begin{aligned} f(x,y,z) &=\nabla\cdot \mathbf{v} \\ &=\frac{\partial}{\partial x}(xy) +\frac{\partial}{\partial y}(8y) +\frac{\partial}{\partial z}\{-2z(z+1)\} \\ &=y+8-2\{(z+1)+z\} \\ &=y-4z+6 \end{aligned}$$

したがって，

$$\boxed{f(x,y,z)=y-4z+6}$$

である。

(2)

円筒座標では，

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta$$

であるから，

$$\begin{aligned} f(r,\theta,z) &=r\sin\theta-4z+6 \end{aligned}$$

したがって，

$$\boxed{f(r,\theta,z)=r\sin\theta-4z+6}$$

である。

(3)

式④より，

$$\begin{aligned} \iint_S \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\,dS &= \int_{-1}^{0} \int_{0}^{-z} r \int_{0}^{2\pi} f(r,\theta,z) \,d\theta\,dr\,dz \\ &= \int_{-1}^{0} \int_{0}^{-z} r \int_{0}^{2\pi} (r\sin\theta-4z+6) \,d\theta\,dr\,dz \end{aligned}$$

ここで，

$$\int_{0}^{2\pi} r\sin\theta\,d\theta=0$$

であるから，

$$\begin{aligned} \iint_S \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\,dS &= 2\pi \int_{-1}^{0} \int_{0}^{-z} r(-4z+6) \,dr\,dz \\ &= 2\pi \int_{-1}^{0} (-4z+6) \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{-z} \,dz \\ &= \pi \int_{-1}^{0} (-4z+6)z^2 \,dz \\ &= \pi \int_{-1}^{0} (-4z^3+6z^2) \,dz \\ &= \pi \left[ -z^4+2z^3 \right]_{-1}^{0} \\ &= 3\pi \end{aligned}$$

したがって，

$$\iint_S \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\,dS=m\pi=3\pi$$

より，

$$\boxed{m=3}$$

である。