北海道大学 情報科学院 情報科学専攻 情報エレクトロニクスコース 2022年8月実施 専門科目2 [2] 量子力学

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• 北海道大学
• 二能级系统的时间演化
• 量子测量
• 波函数归一化
• 量子可观测量的期望与方差

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の各問において $i$ を虚数単位とする。また、$\hbar$ はプランク定数 $h$ を $2\pi$ で割った定数とする。

1.

ハミルトニアンが

$$H= \begin{pmatrix} \varepsilon_1 & 0 \\ 0 & \varepsilon_2 \end{pmatrix}$$

で与えられている物理系がある。以下の問いに答えよ。

(1) 状態ベクトルを

$$|\varphi(t)\rangle = c_1(t) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2(t) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

と表したとき、$|\varphi(t)\rangle$ が満たすシュレディンガー方程式を考えることにより、 $c_1(t)$ と $c_2(t)$ が初期値 $c_1(0)$、$c_2(0)$ によって

$$c_1(t)=c_1(0)\exp\left(-i\frac{\varepsilon_1 t}{\hbar}\right)$$

$$c_2(t)=c_2(0)\exp\left(-i\frac{\varepsilon_2 t}{\hbar}\right)$$

で与えられることを示せ。

(2) オブザーバブル

$$\hat{\sigma} = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$$

の固有ベクトルが

$$|\lambda_1\rangle = \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}$$

$$|\lambda_2\rangle = \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix}$$

であることを示せ。

(3) 状態ベクトルの初期値が

$$|\varphi(0)\rangle=|\lambda_1\rangle$$

であるとき、時刻 $t\geq 0$ でオブザーバブル $\hat{\sigma}$ を測定して結果 $\lambda_1$ が得られる確率を求めよ。

2.

図1のように、$x<0$ で $V(x)=\infty$、$0\leq x$ で $V(x)=v_0x$ ただし、$v_0>0$ とする、と与えられている1次元ポテンシャル中に質量 $m$ の粒子が閉じ込められている。

以下の問いに答えよ。必要であれば正整数 $n$ について成立する次の公式を用いてよい。

$$\int_0^\infty x^n e^{-sx}\,dx = \frac{n!}{s^{n+1}}$$

(1) 波動関数を

$$\psi(x) = \begin{cases} 0, & -\infty<x<0, \\ Cxe^{-ax/2}, & 0\leq x<\infty \end{cases}$$

としたとき、規格化定数 $C$ を定めよ。ただし、$a>0$ であるとする。

(2) (1) の波動関数で表される状態のエネルギーの期待値を求めよ。

题目描述

以下 $i$ 表示虚数单位，$\hbar=h/(2\pi)$。

1. 某物理系统的 Hamiltonian 为

   $$H= \begin{pmatrix} \varepsilon_1&0\\ 0&\varepsilon_2 \end{pmatrix}.$$

   （1）把状态向量写成

   $$|\varphi(t)\rangle = c_1(t) \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} +c_2(t) \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.$$

   从 Schrödinger 方程证明

   $$c_1(t)=c_1(0) \exp\left(-i\frac{\varepsilon_1t}{\hbar}\right),$$
   $$c_2(t)=c_2(0) \exp\left(-i\frac{\varepsilon_2t}{\hbar}\right).$$

   （2）对可观测量

   $$\hat\sigma= \begin{pmatrix} \cos2\theta&\sin2\theta\\ \sin2\theta&-\cos2\theta \end{pmatrix},$$

   证明其特征向量为

   $$|\lambda_1\rangle= \begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}, \qquad |\lambda_2\rangle= \begin{pmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}.$$

   （3）若初态为

   $$|\varphi(0)\rangle=|\lambda_1\rangle,$$

   求在任意 $t\geq0$ 测量 $\hat\sigma$ 并得到结果 $\lambda_1$ 的概率。

2. 如图 1，质量为 $m$ 的粒子被限制在一维势能

   $$V(x)= \begin{cases} \infty&(x<0),\\ v_0x&(x\geq0), \end{cases} \qquad v_0>0$$

   中。必要时可使用对正整数 $n$ 成立的公式

   $$\int_0^\infty x^ne^{-sx}\,dx =\frac{n!}{s^{n+1}}.$$

   （1）若

   $$\psi(x)= \begin{cases} 0&(-\infty<x<0),\\ Cxe^{-ax/2}&(0\leq x<\infty), \end{cases} \qquad a>0,$$

   求归一化常数 $C$。

   （2）求该波函数所描述状态的能量期望值。

Kai

1.

(1)

シュレディンガー方程式

$$\begin{aligned} i \hbar \frac{d}{dt} | \varphi(t) \rangle = \hat{H} | \varphi(t) \rangle \end{aligned} に \begin{aligned} | \varphi(t) \rangle = c_1(t) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2(t) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を代入すると、

$$\begin{aligned} i \hbar \left( \frac{dc_1(t)}{dt} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{dc_2(t)}{dt} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \varepsilon_1 c_1(t) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \varepsilon_2 c_2(t) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

となるから、

$$\begin{aligned} i \hbar \frac{dc_1(t)}{dt} = \varepsilon_1 c_1(t) , \ \ i \hbar \frac{dc_2(t)}{dt} = \varepsilon_2 c_2(t) \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} c_1(t) = c_1(0) \exp \left( -i \frac{\varepsilon_1 t}{\hbar} \right) , \ \ c_2(t) = c_2(0) \exp \left( -i \frac{\varepsilon_2 t}{\hbar} \right) \end{aligned}$$

がわかる。

(2)

まず、

$$\begin{aligned} \hat{\sigma} | \lambda_1 \rangle &= \begin{pmatrix} \cos 2 \theta \cos \theta + \sin 2 \theta \sin \theta \\ \sin 2 \theta \cos \theta - \cos 2 \theta \sin \theta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} \\ &= | \lambda_1 \rangle \end{aligned}$$

なので、 $| \lambda_1 \rangle$ は $\hat{\sigma}$ の固有値 $1$ に属する固有ベクトルである。

また、

$$\begin{aligned} \hat{\sigma} | \lambda_2 \rangle &= \begin{pmatrix} - \cos 2 \theta \sin \theta + \sin 2 \theta \cos \theta \\ - \sin 2 \theta \sin \theta - \cos 2 \theta \cos \theta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \sin \theta \\ - \cos \theta \end{pmatrix} \\ &= - | \lambda_2 \rangle \end{aligned}$$

なので、 $| \lambda_2 \rangle$ は $\hat{\sigma}$ の固有値 $-1$ に属する固有ベクトルである。

(3)

$$\begin{aligned} | \varphi(0) \rangle &= | \lambda_1 \rangle \\ &= \cos \theta \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \sin \theta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

なので、 (1) から、

$$\begin{aligned} | \varphi(t) \rangle &= \cos \theta \exp \left( -i \frac{\varepsilon_1 t}{\hbar} \right) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \sin \theta \exp \left( -i \frac{\varepsilon_2 t}{\hbar} \right) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

がわかる。 よって、$\lambda_1$ が得られる確率は

$$\begin{aligned} P_{\lambda_1}(t) &=\left| \langle \lambda_1|\varphi(t)\rangle \right|^2\\ &= \cos^4 \theta + \sin^4 \theta + \cos^2 \theta \sin^2 \theta \left( \exp \left( i \frac{(\varepsilon_1-\varepsilon_2) t}{\hbar} \right) + \exp \left( -i \frac{(\varepsilon_1-\varepsilon_2) t}{\hbar} \right) \right) \\ &=1-\sin^2(2\theta) \sin^2 \left(\frac{(\varepsilon_1-\varepsilon_2)t}{2\hbar}\right) \end{aligned}$$

である。

2.

原問題の減衰係数を $a$ とし、以下では $\alpha=a/2$ とおく。

(1)

波動関数の規格化条件より、

$$\begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^\infty \left| \psi(x) \right|^2 dx \\ &= |C|^2 \int_0^\infty x^2 e^{-2\alpha x} dx \\ &= \frac{|C|^2}{4\alpha^3} \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} C &= 2\alpha^{3/2} \end{aligned}$$

とすればよい。原題の記号では $C=a^{3/2}/\sqrt2$ である（全体位相は任意）。

(2)

ポテンシャルエネルギーの期待値は

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \psi(x)^* V(x) \psi(x) dx &= 4\alpha^3v_0 \int_0^\infty x^3 e^{-2\alpha x} dx \\ &= \frac{3v_0}{2\alpha} \end{aligned}$$

であり、運動エネルギーの期待値は

$$\begin{aligned} \left\langle T\right\rangle &=\frac{\hbar^2}{2m}\int_0^\infty |\psi'(x)|^2\,dx\\ &=\frac{\hbar^2}{2m}\,4\alpha^3 \int_0^\infty(1-\alpha x)^2e^{-2\alpha x}\,dx\\ &=\frac{\hbar^2\alpha^2}{2m} \end{aligned}$$

であるから、エネルギーの期待値は

$$\begin{aligned} \boxed{\langle H\rangle =\frac{\hbar^2\alpha^2}{2m}+\frac{3v_0}{2\alpha}} \end{aligned}$$

である。

原題の記号で表すと、

$$\boxed{\langle H\rangle=\frac{\hbar^2a^2}{8m}+\frac{3v_0}{a}}.$$

原問題の保存版（PDF 3ページ）にある指数は $-ax/2$ であり、上記はこの記号に合わせた結果である。