北海道大学 情報科学院 情報科学専攻 情報エレクトロニクスコース 2022年8月実施 専門科目2 [2] 量子力学

Author

Miyake

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以下の各問において を虚数単位とする。また、 はプランク定数 を で割った定数とする。

1.

ハミルトニアンが

で与えられている物理系がある。以下の問いに答えよ。

(1) 状態ベクトルを

と表したとき、 が満たすシュレディンガー方程式を考えることにより、 と が初期値 、 によって

で与えられることを示せ。

(2) オブザーバブル

の固有ベクトルが

であることを示せ。

(3) 状態ベクトルの初期値が

であるとき、時刻 でオブザーバブル を測定して結果 が得られる確率を求めよ。

2.

図1のように、 で 、 で ただし、 とする、と与えられている1次元ポテンシャル中に質量 の粒子が閉じ込められている。

以下の問いに答えよ。必要であれば正整数 について成立する次の公式を用いてよい。

(1) 波動関数を

としたとき、規格化定数 を定めよ。ただし、 であるとする。

(2) (1) の波動関数で表される状態のエネルギーの期待値を求めよ。

Kai

1.

(1)

シュレディンガー方程式

を代入すると、

となるから、

であり、

がわかる。

(2)

まず、

なので、 は の固有値 に属する固有ベクトルである。

また、

なので、 は の固有値 に属する固有ベクトルである。

(3)

なので、 (1) から、

がわかる。 よって、

となり、求める確率は、

である。

2.

(1)

波動関数の規格化条件より、

なので、

とすればよい。

(2)

ポテンシャルエネルギーの期待値は

であり、運動エネルギーの期待値は

であるから、エネルギーの期待値は

である。