北海道大学 情報科学院 情報科学専攻 情報理工学コース 2022年8月実施 専門科目1 問3 (確率・統計)

Author

祭音Myyura (with GPT 5.5)

Description

確率・統計に関する以下の問いに答えよ。 ただし、答えだけでなく、導出過程もわかるように解答すること。

[1]

連続型確率変数 の分布関数が

で与えられるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 実数 の値を求めよ。

(2) 確率 を求めよ。

(3) 確率変数 の確率密度関数 を求めよ。

(4) 関数 のグラフの概形を示せ。

(5) 確率変数 の期待値 と分散 を求めよ。

[2]

母平均が 、母分散が の母集団からの大きさ の無作為標本を
とするとき、以下の問いに答えよ。
ただし、 はともに未知数であるとする。

(1) 標本平均を

とするとき、 は の不偏推定量であること、すなわち、

が成り立つことを示せ。

(2) 等式

が成り立つことを示せ。

(3) 統計量

は の不偏推定量であることを示せ。

(4) 統計量

は の不偏推定量であることを示せ。

(5) 母集団が正規分布 であるとき、確率 は正であること、すなわち、

が成り立つことを示せ。
ただし、 が正規分布 からの無作為標本であるとき、
と は独立な確率変数となることを用いてよい。

Kai

[1]

(1)

における の連続性より、

がわかる。

(2)

(3)

(4)

omitted

(5)

[2]

は、母平均 、母分散 の母集団からの大きさ の無作為標本である。
したがって、

であり、

が成り立つ。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

母集団が正規分布 であるとする。

(4) より、

である。したがって、

となるためには、

が成り立てばよい。

任意の正の数 をとる。
このとき、

かつ

が成り立てば、

かつ

となるので、

である。したがって、

が成り立つ。

よって、

であるから、

となる。

ここで、母集団が正規分布 であるから、

である。正規分布は任意の区間に正の確率をもつので、

である。

また、正規母集団からの標本について、

である。 分布は正の方向に広がりをもつので、

である。

さらに、問題文より、 と は独立である。したがって、

となる。

以上より、

であるから、

が示された。