北海道大学 情報科学院 情報科学専攻 情報理工学コース 2022年8月実施 専門科目1 問3 (確率・統計)

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• Hokkaido-University
• Cumulative-Distribution-Function-and-Probability-Density-Function
• Expectation-and-Variance
• Unbiased-Estimation
• Normal-Distribution

Author

祭音Myyura (with GPT 5.5)

Description

確率・統計に関する以下の問いに答えよ。 ただし、答えだけでなく、導出過程もわかるように解答すること。

[1]

連続型確率変数 $X$ の分布関数が

$$F(x)= \begin{cases} 0, & (x<0), \\ kx^3, & (0\leq x<2), \\ 1, & (2\leq x) \end{cases}$$

で与えられるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 実数 $k$ の値を求めよ。

(2) 確率 $P(0<X\leq 1)$ を求めよ。

(3) 確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ を求めよ。

(4) 関数 $f$ のグラフの概形を示せ。

(5) 確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めよ。

[2]

母平均が $\mu$、母分散が $\sigma^2$ の母集団からの大きさ $n$ の無作為標本を
$X_1,\ldots,X_n$ とするとき、以下の問いに答えよ。
ただし、$\mu,\sigma^2$ はともに未知数であるとする。

(1) 標本平均を

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$

とするとき、$\bar{X}$ は $\mu$ の不偏推定量であること、すなわち、

$$E[\bar{X}]=\mu$$

が成り立つことを示せ。

(2) 等式

$$E[(\bar{X})^2]=\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2$$

が成り立つことを示せ。

(3) 統計量

$$T_1=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$$

は $\sigma^2$ の不偏推定量であることを示せ。

(4) 統計量

$$T_2=(\bar{X})^2-\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$$

は $\mu^2$ の不偏推定量であることを示せ。

(5) 母集団が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ であるとき、確率 $P(T_2<0)$ は正であること、すなわち、

$$P(T_2<0)>0$$

が成り立つことを示せ。
ただし、$X_1,\ldots,X_n$ が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ からの無作為標本であるとき、
$\bar{X}$ と $T_1$ は独立な確率変数となることを用いてよい。

题目描述

回答下列概率统计问题。不能只写答案，还应清楚展示推导过程。

1. 连续型随机变量 $X$ 的分布函数为

   $$F(x)= \begin{cases} 0&(x<0),\\ kx^3&(0\leq x<2),\\ 1&(x\geq2). \end{cases}$$

   （1）求实数 $k$。

   （2）求 $P(0<X\leq1)$。

   （3）求 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$。

   （4）画出 $f$ 的图像概形。

   （5）求期望 $E[X]$ 与方差 $V[X]$。

2. 从总体均值为 $\mu$、总体方差为 $\sigma^2$ 的总体中抽取容量为 $n$ 的随机样本 $X_1,\ldots,X_n$，其中 $\mu,\sigma^2$ 均未知。

   （1）定义样本均值

   $$\bar X=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i.$$

   证明 $\bar X$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，即 $E[\bar X]=\mu$。

   （2）证明

   $$E[(\bar X)^2]=\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2.$$

   （3）证明

   $$T_1=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$$

   是 $\sigma^2$ 的无偏估计量。

   （4）证明

   $$T_2=(\bar X)^2 -\frac1{n(n-1)} \sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$$

   是 $\mu^2$ 的无偏估计量。

   （5）若总体为正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，证明

   $$P(T_2<0)>0.$$

   可使用性质：当 $X_1,\ldots,X_n$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的随机样本时，$\bar X$ 与 $T_1$ 相互独立。

Kai

[1]

(1)

$x=2$ における $F(x)$ の連続性より、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 2-} F(x) &= F(2) \\ k \cdot 2^3 &= 1 \\ \therefore \ \ k &= \frac{1}{8} \end{aligned}$$

がわかる。

(2)

$$\begin{aligned} P \left( 0 \lt X \leq 1 \right) &= F(1) - F(0) \\ &= \frac{1}{8} \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} f(x) &= \frac{d}{dx} F(x) \\ &= \begin{cases} 0 &(x \lt 0) \\ \frac{3}{8} x^2 &(0 \leq x \lt 2) \\ 0 &(2 \leq 2) \end{cases} \end{aligned}$$

(4)

omitted

(5)

$$\begin{aligned} \mathrm{E} \left[ X \right] &= \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx \\ &= \frac{3}{8} \int_0^2 x^3 dx \\ &= \frac{3}{8} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 \\ &= \frac{3}{2} \\ \mathrm{E} \left[ X^2 \right] &= \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x) dx \ \ \ \ \ \ \ \ \left( X^2 \text{ の期待値 } \right) \\ &= \frac{3}{8} \int_0^2 x^4 dx \\ &= \frac{3}{8} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 \\ &= \frac{12}{5} \\ \mathrm{Var} \left[ X \right] &= \mathrm{E} \left[ X^2 \right] - \mathrm{E} \left[ X \right]^2 \\ &= \frac{3}{20} \end{aligned}$$

[2]

$X_1,X_2,\ldots,X_n$ は、母平均 $\mu$、母分散 $\sigma^2$ の母集団からの大きさ $n$ の無作為標本である。
したがって、

$$E[X_i]=\mu,\qquad V[X_i]=\sigma^2$$

であり、

$$E[X_i^2]=V[X_i]+\{E[X_i]\}^2=\sigma^2+\mu^2$$

が成り立つ。

(1)

$$\begin{aligned} \mathrm{E} \left[ \bar{X} \right] &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathrm{E} \left[ X_i \right] \\ &= \mu \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \mathrm{E} \left[ \left( \bar{X} \right)^2 \right] &= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \mathrm{E} \left[ X_i X_j \right] \\ &= \frac{1}{n^2} \left( \sum_{i=1}^n \mathrm{E} \left[ X_i^2 \right] + \sum_{i,j \ (i \ne j)} \mathrm{E} \left[ X_i X_j \right] \right) \\ &= \frac{1}{n^2} \left( \sum_{i=1}^n \mathrm{E} \left[ X_i^2 \right] + \sum_{i,j \ (i \ne j)} \mathrm{E} \left[ X_i \right] \mathrm{E} \left[ X_j \right] \right) \\ &= \frac{1}{n^2} \left( n \left( \sigma^2 + \mu^2 \right) + \left( n^2 - n \right) \mu^2 \right) \\ &= \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} T_1 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( X_i - \bar{X} \right)^2 \\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( X_i^2 - 2 \bar{X} X_i + \left( \bar{X} \right)^2 \right) \\ &= \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - n \left( \bar{X} \right)^2 \right) \\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{n}{n-1} \left( \bar{X} \right)^2 \\ \therefore \ \ \mathrm{E} \left[ T_1 \right] &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \mathrm{E} \left[ X_i^2 \right] - \frac{n}{n-1} \mathrm{E} \left[ \left( \bar{X} \right)^2 \right] \\ &= \frac{n}{n-1} \left( \sigma^2 + \mu^2 \right) - \frac{n}{n-1} \left( \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \right) \\ &= \sigma^2 \end{aligned}$$

(4)

$$\begin{aligned} T_2 &= \left( \bar{X} \right)^2 - \frac{1}{n} T_1 \\ \therefore \ \ \mathrm{E} \left[ T_2 \right] &= \mathrm{E} \left[ \left( \bar{X} \right)^2 \right] - \frac{1}{n} \mathrm{E} \left[ T_1 \right] \\ &= \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 - \frac{1}{n} \sigma^2 \\ &= \mu^2 \end{aligned}$$

(5)

母集団が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ であるとする。

(4) より、

$$T_2=(\bar{X})^2-\frac{1}{n}T_1$$

である。したがって、

$$T_2<0$$

となるためには、

$$(\bar{X})^2<\frac{1}{n}T_1$$

が成り立てばよい。

任意の正の数 $a>0$ をとる。
このとき、

$$|\bar{X}|<a$$

かつ

$$T_1>na^2$$

が成り立てば、

$$(\bar{X})^2<a^2$$

かつ

$$\frac{1}{n}T_1>a^2$$

となるので、

$$(\bar{X})^2<\frac{1}{n}T_1$$

である。したがって、

$$T_2<0$$

が成り立つ。

よって、

$$\{|\bar{X}|<a,\ T_1>na^2\} \subset \{T_2<0\}$$

であるから、

$$P(T_2<0) \geq P(|\bar{X}|<a,\ T_1>na^2)$$

となる。

ここで、母集団が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ であるから、

$$\bar{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

である。正規分布は任意の区間に正の確率をもつので、

$$P(|\bar{X}|<a)>0$$

である。

また、正規母集団からの標本について、

$$\frac{(n-1)T_1}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}$$

である。$\chi^2$ 分布は正の方向に広がりをもつので、

$$P(T_1>na^2)>0$$

である。

さらに、問題文より、$\bar{X}$ と $T_1$ は独立である。したがって、

$$\begin{aligned} P(|\bar{X}|<a,\ T_1>na^2) &= P(|\bar{X}|<a)P(T_1>na^2) \\ &>0 \end{aligned}$$

となる。

以上より、

$$P(T_2<0)\geq P(|\bar{X}|<a,\ T_1>na^2)>0$$

であるから、

$$P(T_2<0)>0$$

が示された。